尼姆博弈的证明

结论:将所有堆的石子异或起来,如果等于0先手必败,否则先手必胜。

为什么?

首先当石子堆数只有2堆时候,它们异或值为0 当且仅当它们完全相等,那么显而易见了,你先取多少个,对手就取多少个,这样先手一定必败。

那么石子是3堆,4堆,5堆...呢?

我用一个excel表来表示几堆石子的异或值。

我任意放5堆石子    假设是189 91 98 5 80

由图可知 它们的异或值显然不为0。

我们先手取的话 总能找到二进制值最大的奇数项 奇数项中1对应的石子数 取最大的石子数 将1删除 然后在后面根据条件添加1或者删除1

如图:

这样它们的异或值为0。

那么后手无论怎么取,都会使异或值不为0,也就是说,后手的任意操作都会使异或值不为0。为什么?

因为石子数是减少的,那么二进制数总会变,要么1变成0,要么0变成1

假设1不动,0变为1,那么数是反而增大的,与题目矛盾。

由此可知至少有一个1变为了0。

那我们任意取石头  然后先手采取这个方法一直让异或值为0一直取下去,我们用A代表先手,B代表后手(B随机取)。如下图:

B:

A:

B:

A:

这样石子不断减少,无论后手怎么取,先手总能把那个坑给它填平。最后不断变少,总会变成2堆石子的情况,然后先手必胜。

大家也可以模拟一下,就能知道规律了。

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