NIM博弈证明

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古代的 $\operatorname{Nim}$取石子游戏是由两个人面对若干堆石子进行的游戏。
设有 $n\ge 2$堆石子，各堆分别含有 $A_1、A_2\cdots A_n$个石子。

游戏的目的就是选取最后剩下的石子。游戏规则如下:

1. 游戏人交替进行游戏
2. 当轮到每个游戏人取子时，选择这些石子中的一堆，并从所选的堆中取走至少一个石子
   (游戏人也可以取走他所选择的堆中的全部石子，于是留下一个空堆)

当所有的堆都变成空堆时，游戏结束。
最后取子（即能够取走最后一堆中剩下的所有石子）的游戏人，视为游戏的胜利者。

这种游戏称为 $\operatorname{NIM}$游戏。

对于这种游戏，只有先手必胜和先手必败两种情况。

定理:

$\operatorname{NIM}$先手必胜，当且仅当 $A_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n$不等于 $0$

证明:

• 所有物品都被取光是一个必败局面(对手取走最后一件物品，对手已经获得胜利)，此时显然有 $A_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n=0$。
• 对于任意一个局面，如果 $A_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n=x$不等于 $0$，如果x二进制表示下最高位的1在第k位，那么至少存在一个石子 $A_i$，它的第 $k$位为1。显然 $A_i\operatorname{xor}x<A_i$时，我们就能从 $A_i$堆中取走若干柿子，使其变成 $A_i\operatorname{xor}x$，从而得到了一个各堆石子数异或起来等于 $0$的局面。
• 对面任意一个局面，如果 $A_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n=0$，那么无论如何取柿子，得到的局面下各堆石子异或起来都不等于 $0$。用反证法可以证明，假设 $A_i$被取成了 $A_i\operatorname{xor}x$，由于 $x=0$，所以不满足从所选的堆中取走至少一个石子。
• 综上所述， $\operatorname{NIM}$先手必胜，当且仅当 $A_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n$不等于 $0$，证毕。