51nod 1597 有限背包计数问题 DP

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将 $[1,\sqrt{n}]$和 $[\sqrt{n}+1,n]$的物品分开考虑。

对于 $[1,\sqrt{n}]$的物品，只有 $\sqrt{n}$个，我们令 $f(i,j)$表示前 $i$个物品选 $j$个的方案数。那么有： $f(i,j)=f(i-1,j)+(f(i,j-i)+f(i-1,j-i*(i+1)))$

这是由于有两种决策，一种是不拿 $i$物品，一种是拿，但是由于不能拿超过 $i$个，所以要减去多算的方案。

对于 $[\sqrt{n}+1,n]$的物品，最多拿 $\sqrt{n}$个，所以我们令 $g(i,j)$表示拿了 $i$个物品，重量为 $j$的方案数。假设现在我们算出了 $g(i,j)$，则接下来有两种转移，一种是将所有手头的物品 $k$都换成物品 $k+1$，对应转移 $g(i,j+i)+=g(i,j)$，一种是多拿一个物品 $\sqrt{n}+1$，对应转移 $g(i,j+\sqrt{n}+i)+=g(i,j)$。

复杂度 $O(n\sqrt{n})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
const int mod=23333333,N=100005;
int n,sqn,ans,f[2][N],g[335][N],f1[N],f2[N];
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
void work1() {
	f[0][0]=1;
	for(RI i=1,t=1;i<=sqn;++i,t^=1)
		for(RI j=0;j<=n;++j) {
			f[t][j]=f[t^1][j];
			if(j>=i) f[t][j]=qm(f[t][j]+f[t][j-i]);
			if(j>=i*(i+1)) f[t][j]=qm(f[t][j]-f[t^1][j-i*(i+1)]+mod);
		}
	for(RI i=0;i<=n;++i) f1[i]=f[sqn&1][i];
}
void work2() {
	g[0][0]=1;
	for(RI i=0;i<=sqn;++i)
		for(RI j=0;j<=n;++j) {
			f2[j]=qm(f2[j]+g[i][j]);
			if(i&&j+i<=n) g[i][j+i]=qm(g[i][j+i]+g[i][j]);
			if(j+sqn+1<=n) g[i+1][j+sqn+1]=qm(g[i+1][j+sqn+1]+g[i][j]);
		}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);sqn=sqrt(n);
	work1(),work2();
	for(RI i=0;i<=n;++i) ans=qm(ans+1LL*f1[i]*f2[n-i]%mod);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}