51Nod 1296 - 有限制的排列（DP）

【题目描述】

【思路】
做这道题首先要知道一种全排列的生成方式：如果要生成 $[1,n]$ 的全排列，考虑递推关系，如果现在所有 $[1,n-1]$ 的排列都是已知的，那么假设 $[1,n]$ 中的一个排列末尾元素为 $x$ ，那么只要把 $[1,n-1]$ 中所有 $>=x$ 的元素都 $+1$，然后把 $x$ 放在第 $n$ 项，就能构造出一个 $[1,n]$ 的排列，并且前面的 $n-1$ 项之间相互大小关系是不变的

首先根据输入数据处理出一个数组 $p$ ，表示相邻两项的关系， $p[i]==1$ 表示 $a[i]>a[i+1]$ ， $p[i]==-1$ 表示 $a[i]<a[i+1]$， $p[i]==0$ 表示无限制，然后

设 $dp[i][j]$ 表示 数字 $[1,i]$ 在前 $i$ 个位置，以 $j$ 为结尾生成的合法排列数目，有如下状态转移方程

$dp[i+1][j]=\begin{cases} \sum_{k=1}^{j-1}dp[i][k] \ \ \ (p[i]==-1) \\ \sum_{k=j}^{i}dp[i][k] \ \ \ (p[i]==1) \\ \sum_{k=1}^{i}dp[i][k] \ \ \ (p[i]==0)\end{cases}$ 递推边界从 $dp[1][1]=1$ 开始，很明显可以通过前缀和来优化这个递推方程，在递推过程中用一个 $sum$ 数组记录前缀和 $sum[j]=\sum_{k=1}^{j}dp[i][j]$，每次用 $sum$ 递推，然后不断更新 $sum$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
const int maxn=5005; 

int n,k1,k2;
int p[maxn];//p[x]=-1表示a[x]<a[x+1],p[x]=1表示a[x]>a[x+1],p[x]=0表示都行 
int dp[maxn][maxn];
int sum[maxn];

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&k1,&k2);
	for(int i=1;i<=k1;++i){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		++x;
		p[x-1]=1;
		p[x]=-1;
	}
	for(int i=1;i<=k2;++i){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		++x;
		p[x-1]=-1;
		p[x]=1;
	}
	
	sum[1]=dp[1][1]=1;
	for(int i=1;i<n;++i){
		for(int j=1;j<=i+1;++j){
			if(p[i]==-1){
				dp[i+1][j]=sum[j-1];
			}
			else if(p[i]==1){
				dp[i+1][j]=((sum[i]-sum[j-1])%mod+mod)%mod;
			}
			else{
				dp[i+1][j]=sum[i];
			}
		}
		for(int j=1;j<=i+1;++j){
			sum[j]=(sum[j-1]+dp[i+1][j])%mod;
		}
	}
	
	printf("%d\n",sum[n]);
	return 0;
}

可以看到上面的代码中 $dp[i][j]$ 的第一维完全可以省去，进一步优化内存

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
const int maxn=5005; 

int n,k1,k2;
int p[maxn];//p[x]=-1表示a[x]<a[x+1],p[x]=1表示a[x]>a[x+1],p[x]=0表示都行 
int dp[maxn];
int sum[maxn];

int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&k1,&k2);
	for(int i=1;i<=k1;++i){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		++x;
		p[x-1]=1;
		p[x]=-1;
	}
	for(int i=1;i<=k2;++i){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		++x;
		p[x-1]=-1;
		p[x]=1;
	}
	
	sum[1]=dp[1]=1;
	for(int i=1;i<n;++i){
		for(int j=1;j<=i+1;++j){
			if(p[i]==-1){
				dp[j]=sum[j-1];
			}
			else if(p[i]==1){
				dp[j]=((sum[i]-sum[j-1])%mod+mod)%mod;
			}
			else{
				dp[j]=sum[i];
			}
		}
		for(int j=1;j<=i+1;++j){
			sum[j]=(sum[j-1]+dp[j])%mod;
		}
	}
	
	printf("%d\n",sum[n]);
	return 0;
}