8.15 数论 线性同余方程组（crt 与 excrt

crt：

问题：

求解形如：

的方程组

构造思想求解：

构造解 X = x1 + x2 + x3 +......+xn

其中 xi 的构造为  bi * (逆元项）*（消参项）

消参项： 使得 除了xi的其他项xj mod ai == 0

逆元项： 为消参项在mod ai 意义下的逆元 ，使得 bi * (逆元项）*（消参项）mod ai = bi mod ai

则： $$X\equiv b_{i}\  (mod\  a_{i} ) \ , 1\leq i\leq  n $$ ,即满足要求.

不难想到消参项的构造 :

                     $$M_{i} =  \prod_{1}^{n}b / b_{i}$$

又 ，对于通解X，任何    $ X + n*\prod_{1}^{n}b  $ 都是可行解，

所以 ，令 $ t = \prod_{1}^{n}b / b_{i} $ , 则最小正整数解为 $(X\; mod \;t + t ) \;mod\; t$

伪代码：

1 → n
0 → ans
for i = 1 to k
    n * n[i] → n
for i = 1 to k
    n / n[i] → m
    inv(m, n[i]) → b               // b * m mod n[i] = 1
    (ans + m * b) mod n → ans
return (ans mod t + t ) mod t

excrt：

即上述方程中ai不互质的情况 ，这样的话消参项的构造就不能保证ai本身不会被消了

但这种情况下，模数不互质的同余方程的解是有重叠的，可以用扩展欧几里得定理和线性同余方程的性质进行合并，详见:

https://oi-wiki.org/math/crt/