1 简介
Softmax回归模型,该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广,在多分类问题中,类标签
y
可以取两个以上的值。 Softmax回归是有监督的,不过后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。
1.1 Logistic回归
我们的训练集由
m
个已标记的样本构成:
{(x(1),y(1)),…,(x(m),y(m))}
,其中输入特征
x(i)∈Rn+1
。(我们对符号的约定如下:特征向量
x
的维度为
n+1
,其中
x0=1
对应截距项 。) 由于 logistic 回归是针对二分类问题的,因此类标记
y(i)∈{0,1}
。假设函数(hypothesis function) 如下:
hθ(x)=11+exp(−θTx),
我们将训练模型参数
θ
,使其能够最小化代价函数 :
J(θ)=−1m[∑i=1my(i)loghθ(x(i))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
总结:
Logistic Regression算法是将线性函数的结果映射到了sigmoid函数中。
1.2 Softmax回归
在 softmax回归中,我们解决的是多分类问题(相对于 logistic 回归解决的二分类问题),类标
y
可以取
k
个不同的值(而不是 2 个)。因此,对于训练集
{(x(1),y(1)),…,(x(m),y(m))}
,我们有
y(i)∈{1,2,…,k}
。(注意此处的类别下标从 1 开始,而不是 0)。
对于给定的测试输入
x
,我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值
p(y=j|x)
。也就是说,我们想估计
x
的每一种分类结果出现的概率。因此,我们的假设函数将要输出一个
k
维的向量(向量元素的和为1)来表示这
k
个估计的概率值。 具体地说,我们的假设函数
hθ(x)
形式如下:
hθ(x(i))=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢p(y(i)=1|x(i);θ)p(y(i)=2|x(i);θ)⋮p(y(i)=k|x(i);θ)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=1∑kj=1eθTjx(i)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢eθT1x(i)eθT2x(i)⋮eθTkx(i)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
其中
θ1,θ2,…,θk∈Rn+1
是模型的参数。请注意
1∑kj=1eθTjx(i)
这一项对概率分布进行归一化,使得所有概率之和为 1 。
为了方便起见,我们同样使用符号
θ
来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时,将
θ用一个k×(n+1)
的矩阵来表示会很方便,该矩阵是将
θ1,θ2,…,θk
按行罗列起来得到的,如下所示:
θ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢---θT1------θT2---⋮---θTk---⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
2 代价函数
现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中,
1{⋅}
是示性函数,其取值规则为:
1{值为真的表达式}=1
1{值为假的表达式}=0
举例来说,表达式
1{2+2=4}的值为1,1{1+1=5}的值为0
。我们的代价函数为:
J(θ)=−1m[∑i=1m∑j=1k1{y(i)=j}logeθTjx(i)∑kl=1eθTlx(i)]
值得注意的是,上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为:
J(θ)=−1m[∑i=1m(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))+y(i)loghθ(x(i))]=−1m[∑i=1m∑j=011{y(i)=j}logp(y(i)=j|x(i);θ)](7)(8)
可以看到,Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似,只是在Softmax损失函数中对类标记的
k
个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将
x
分类为类别
j
的概率为:
p(y(i)=j|x(i);θ)=eθTjx(i)∑kl=1eθTlx(i)
对于
J(θ)
的最小化问题,目前还没有闭式解法。因此,我们使用迭代的优化算法(例如梯度下降法,或 L-BFGS)。经过求导,我们得到
梯度公式如下:
∇θjJ(θ)=−1m∑i=1m[x(i)(1{y(i)=j}−p(y(i)=j|x(i);θ))]
让我们来回顾一下符号
"∇θj"
的含义。
∇θjJ(θ)
本身是一个向量,它的第
l个元素∂J(θ)∂θjl
是
J(θ)对θj
的第
l
个分量的偏导数。
有了上面的偏导数公式以后,我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中,来最小化
J(θ)
。 例如,在梯度下降法的标准实现中,每一次迭代需要进行如下更新:
θj:=θj−α∇θjJ(θ)(j=1,…,k)
。
当实现 softmax 回归算法时, 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说,就是和权重衰减(weight decay)一起使用。我们接下来介绍使用它的动机和细节。
3 Softmax回归模型参数化特点
Softmax 回归有一个不寻常的特点:它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点,假设我们从参数向量
θj
中减去了向量
ψ
,这时,每一个
θj
都变成了
θj−ψ(j=1,…,k)
。此时假设函数变成了以下的式子:
p(y(i)=j|x(i);θ)=e(θj−ψ)Tx(i)∑kl=1e(θl−ψ)Tx(i)=eθTjx(i)e−ψTx(i)∑kl=1eθTlx(i)e−ψTx(i)=eθTjx(i)∑kl=1eθTlx(i).(9)(10)(11)
换句话说,从
θj
中减去
ψ
完全不影响假设函数的预测结果!这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说, Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数,可以求出多组参数值,这些参数得到的是完全相同的假设函数
hθ
。
进一步而言,如果参数
(θ1,θ2,…,θk)
是代价函数
J(θ)
的极小值点,那么
(θ1−ψ,θ2−ψ,…,θk−ψ)
同样也是它的极小值点,其中
ψ
可以为任意向量。因此使
J(θ)
最小化的解不是唯一的。(有趣的是,由于
J(θ)
仍然是一个凸函数,因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的,这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题)
注意,当
ψ=θ1
时,我们总是可以将
θ1
替换为
θ1−ψ=0⃗
(即替换为全零向量),并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量
θ1
(或者其他
θj
中的任意一个)而不影响假设函数的表达能力。实际上,与其优化全部的
k×(n+1)
个参数
(θ1,θ2,…,θk)
(其中
θj∈Rn+1
),我们可以令
θ1=0⃗
,只优化剩余的
(k−1)×(n+1)
个参数,这样算法依然能够正常工作。
在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数
(θ1,θ2,…,θn)
,而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。
4 权重衰减
我们通过添加一个权重衰减项
λ2∑ki=1∑nj=0θ2ij
来修改代价函数,这个衰减项会惩罚过大的参数值,现在我们的代价函数变为:
有了这个权重衰减项以后 (
λ>0
),代价函数就变成了严格的凸函数,这样就可以保证得到唯一的解。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵,并且因为
J(θ)
是凸函数,梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。
为了使用优化算法,我们需要求得这个新函数
J(θ)
的导数,如下:
∇θjJ(θ)=−1m∑i=1m[x(i)(1{y(i)=j}−p(y(i)=j|x(i);θ))]+λθj
通过最小化
J(θ)
,我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。
5 Softmax 与 Logistic的回归关系
当类别数
k=2
时,softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说,当
k=2
时,softmax 回归的假设函数为:
hθ(x)=1eθT1x+eθT2x(i)[eθT1xeθT2x](12)
利用softmax回归参数冗余的特点,我们令
ψ=θ1
,并且从两个参数向量中都减去向量
θ1
,得到:
因此,用
θ′
来表示
θ2−θ1
,我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为
11+e(θ′)Tx(i)
,另一个类别概率的为
1−11+e(θ′)Tx(i)
,这与 logistic回归是一致的
6 Sotfmax 回归 vs k个二元分类器
如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?
这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数
k=4
的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。)
如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?
在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
参考
[1]Softmax回归