【机器学习】softmax回归（二）

通过上篇softmax回归已经知道大概了，但是有个缺点，现在来仔细看看

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量 $\textstyle \theta_j$ 中减去了向量 $\textstyle \psi$ ，这时，每一个 $\textstyle \theta_j$ 都变成了 $\textstyle \theta_j - \psi$ ( $\textstyle j=1, \ldots, k$ )。此时假设函数变成了以下的式子：

$\begin{align}p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta)&= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\&= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\&= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}.\end{align}$

换句话说，从 $\textstyle \theta_j$ 中减去 $\textstyle \psi$ 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说， Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 $\textstyle h_\theta$ 。

进一步而言，如果参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ 是代价函数 $\textstyle J(\theta)$ 的极小值点，那么 $\textstyle (\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots,\theta_k - \psi)$ 同样也是它的极小值点，其中 $\textstyle \psi$ 可以为任意向量。因此使 $\textstyle J(\theta)$ 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 $\textstyle J(\theta)$ 仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）

注意，当 $\textstyle \psi = \theta_1$ 时，我们总是可以将 $\textstyle \theta_1$ 替换为 $\textstyle \theta_1 - \psi = \vec{0}$ （即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 $\textstyle \theta_1$ （或者其他 $\textstyle \theta_j$ 中的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的 $\textstyle k\times(n+1)$ 个参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k)$ （其中 $\textstyle \theta_j \in \Re^{n+1}$ ），我们可以令 $\textstyle \theta_1 =\vec{0}$ ，只优化剩余的 $\textstyle (k-1)\times(n+1)$ 个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 $\textstyle (\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)$ ，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减（也叫做惩罚项）

我们通过添加一个权重衰减项 $\textstyle \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2$ 来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

$\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2\end{align}$

有了这个权重衰减项以后 ( $\textstyle \lambda > 0$ )，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为 $\textstyle J(\theta)$ 是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 $\textstyle J(\theta)$ 的导数，如下：

$\begin{align}\nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j\end{align}$

通过最小化 $\textstyle J(\theta)$ ，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

参考：http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92