转载自 https://blog.csdn.net/xiazdong/article/details/7354411 和
https://blog.csdn.net/LJFYYJ/article/details/80293263。
一、基本术语
图：由有穷、非空点集和边集合组成，简写成G(V,E);
Vertex：图中的顶点；
无向图：图中每条边都没有方向；
有向图：图中每条边都有方向；
无向边：边是没有方向的，写为(a,b)
有向边：边是有方向的，写为<a,b>
有向边也成为弧；开始顶点称为弧尾，结束顶点称为弧头；
简单图：不存在指向自己的边、不存在两条重复的边的图；
无向完全图：每个顶点之间都有一条边的无向图；
有向完全图：每个顶点之间都有两条互为相反的边的无向图；
稀疏图：边相对于顶点来说很少的图；
稠密图：边很多的图；
权重：图中的边可能会带有一个权重，为了区分边的长短；
网：带有权重的图；
度：与特定顶点相连接的边数；
出度、入度：对于有向图的概念，出度表示此顶点为起点的边的数目，入度表示此顶点为终点的边的数目；
环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；
简单环：除去第一个顶点和最后一个顶点后没有重复顶点的环；
连通图：任意两个顶点都相互连通的图；
极大连通子图：包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点；
连通分量：极大连通子图的数量；
强连通图：此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图；
生成树：n个顶点，n-1条边，并且保证n个顶点相互连通（不存在环）；
最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的；
AOV网：结点表示活动的网；
AOE网：边表示活动的持续时间的网；
二、图的存储结构
1.邻接矩阵
维持一个二维数组，arr[i][j]表示i到j的边，如果两顶点之间存在边，则为1，否则为0；
维持一个一维数组，存储顶点信息，比如顶点的名字；
下图为一般的有向图：
注意：如果我们要看vi节点邻接的点，则只需要遍历arr[i]即可；
下图为带有权重的图的邻接矩阵表示法：
缺点：邻接矩阵表示法对于稀疏图来说不合理，因为太浪费空间；
2.邻接表
如果图示一般的图，则如下图：
如果是网，即边带有权值，则如下图：
三、图的遍历
深度优先遍历（Depth First Search)
从图的某顶点v出发，进行深度优先遍历：
由于没有规定访问邻接点的顺序，所以深度优先序列不唯一。
例子：
广度优先遍历（Depth First Search)
从图中某顶点v出发：
深度优先遍历是回溯算法，广度优先遍历时一种分层的顺序搜索过程，不是递归。
四、最小生成树
1、最小生成树的概念
包含无向连通图G所有n个顶点的极小连通子图称为G的生成树。
生成树的特点：T是G的连通子图；T包含G的所有顶点；T中无回路；T中有n-1条边。
权之和最小的生成树为最小生成树。
MST(Minimum Spanning Tree)性质： 若U集是V的一个非空子集，若(U0, V0)是一条权值最小的边，其中U0∈U,V0∈V−U，则：(U0, V0)必在最小生成树上。
2、Prim算法：将顶点归并，与边数无关，适合稠密网O(n^2)
设G=(V,GE)为一个具有n个顶点的连通网络，T=(U,TE)为构造的生成树。
- 初始时，U={u0}，TE为空集
- 在所有的u∈U且v∈V−U的边(u,v)中选择一条权值最小的边(u,v)
- 将(u,v)加入TE，同时将v加入U
- 重复23步，直到U=V为止
3、Kruskal算法：将边归并，适用于求稀疏网的最小生成树，O(eloge)
- 初始时最小生成树值包含图的n个顶点，每个顶点为一棵子树
- 选取权值较小且所关联的两个顶点不再同一连通分量的边，将此边加入最小生成树中
- 重复第二步n-1次，即得到包含n个顶点和n-1个条边的最小生成树
五 、有向无环图及其应用
对于有向图中没有限定次序关系的顶点，则可以人为加上任意的次序关系，由此所得顶点的线型序列被称之为拓扑有序序列。
AOV网(Activity On Vertex network)是以顶点表示活动，弧表示活动之间的先后关系的有向图。AOV网中不允许有回路，不允许某项活动以自己为先决条件。
检测AOV网是否存在环：对有向图构造顶点的拓扑有序序列，若图中所有顶点都在该序列中，则AOV网必定不存在环。
AOE网(Activity On Edge)用边表示活动的网。它是一个带权的有向无环图。
AOE网中重要概念：
- 顶点表示时间，弧表示活动
- 权值：活动持续的时间
- 路径长度：路径上各活动的持续时间之和
- 关键路径：路径长度最长的路径叫作关键路径
- 关键活动：该弧上的权值增加将使有向图上的最长路径的长度增加
AOE网和AOV网的区别：
- 一个用顶点表示活动，一个用边表示活动
- AOV网侧重表示活动的前后次序，AOE网除了表示活动的前后次序，还表示了活动的持续时间等。
AOV网或AOE网构造拓扑序列的方法：
- 在有向图中选一个没有前驱（入度为0）的顶点并输出它。
- 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。（弧头顶点的入度减一）
- 重复上述两步，直至全部顶点均已输出。
数据结构：
- 邻接表存储图
- 数组记录顶点当前的入度
- 栈记录入度为0的点
六、最短路径
1、Dijkstra算法求单源最短路径
方法：S = v0，其余顶点T = 其余顶点u
- 从T中选择一个未标记的权值最小的顶点w，将w加入S，并对w进行标记。若所有点都被标记，则结束。
- 考察T中的所有顶点，对路径进行松弛
无向图和有向图都适用，弧的权值必须非负。
2、Floyd算法求每对顶点间最短路径
当然也可以重复执行Dijkstra算法n次。
弗洛伊德算法：从vi到vj所有可能存在的路径中，选出一条长度最短的路径。所有可能存在的路径中，选出一条长度最短的路径。
方法：
- 初始设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧 (vi, vj)，则对应元素为权值，否则为无穷。
- 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改。否则，维持原值。
- 所有顶点试探完毕，算法结束。