数据结构与算法之图（下）

最小生成树

树有一个特点：有n个节点，就有n-1条边。这显然是把n个节点连起来的最少边数，之所以在图当中提到这个，是为了解决图当中将所有联通的顶点连接起来，要求这些边的权重加起来最小的问题。权重和最小这个要求听上去好像是有点耳熟啊，没错，之前讲迪杰特斯拉算法就是解决了单源最短路径的问题，那条路径是那两点之间权重加起来最小的，但他并不一定将整个连通图里的顶点都包含进去了。不过我们可以依照一样的思想去做，这就产生了一个新的算法：普里姆算法。

普里姆算法（Prim）

比如这里我们选取V₁为起点，进到算法里面来之后，我们先找到与之相关联的点跟谁的边权重最小就将这条边存入Path数组，这个时候树就长大了一点，再看与这棵小树相关的哪条边权重最小，这里V₁V₂,V₃V₄都是2，先选谁没关系啊，树又长大了，2的找完了那V₄V₂的3这条边能不能选呢，是不能的，最小生成树当中是不允许又环路存在的，慢慢的最小生成树就长成了。

克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔算法是一种新的思想，他不断的将森林合并，最终一个连通图里只会有一棵树，这就是最小生成树，过程是这样的，他先找到图中最小的边，这里面找到了V₁V₄和V₆V₇，他们两个都是最小的，他们两个就是两棵树了，然后不断重复，注意不要形成环路，最后所有节点都在树里之后就形成了最小的生成树。

找权重最小的边用前面讲到的最小堆，时间复杂度会比排序低些，构不构成回路可以利用并查集看他们在不在一个点集里。

拓扑排序

拓扑排序其实就是把各个顶点按入度从小到大进行排序，朴素做法的过程就是先把每个点的入度数出来，遍历找到入度为零的点输出或记录将其入度改为-1，并将与之有关的点的入度减一，让后再从头开始遍历，直到所有点遍历完。但他时间复杂度开了O（n²)。

所以我们用队列这个容器来优化这个算法（跟之前的BFS里队列的使用差不多）

康康代码：

void topsort(int v)
{
 for(int i=1;i<=v;i++)
    for(int j=1;j<=v;j++)
       if(map[i][j])
         rudu[j]++;
 int k;
 for(int i=1;i<=v;i++)
 {
    for(int j=1;j<=v;j++)
    {
       if(rudu[j]==0)
       {
           k=j;
           break;
       }
    }
    path[i]=k;
    rudu[k]=-1;
    for(int j=1;j<=v;j++)
    {
       if(map[k][j])
          rudu[j]--;
    }
 }
}