数据结构之“图”
图的定义
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
对于图的定义，需要注意几点：
- 线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫节点，在图中数据元素，我们称为顶点（Vertex）
- 线性表中可以没有数据元素，称为空表。树种可以没有节点，称为空树。而在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若V是顶点的集合，则强调了顶点集合为有穷非空集合。
- 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的节点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以为空。
图的分类及相关术语
- 图按照有无方向分为无向图和右向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。
- 图按照边和弧的多少分为稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
- 图中顶点之间有领接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。
- 图上的边或弧上带权则称为网。
- 图中顶点间存在路径,两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。
- 无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。有向图中一顶点入度0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。
图的物理存储结构
因为图的节点度数相差很大，按照度数最大的顶点设计节点结构会造成存储单元浪费；如果按照每个顶点自己的度数设计不同结构，又会带来操作的不便
一、邻接矩阵
- 邻接矩阵存储使用2个数组存储图的信息：1个以为数组存储顶点，一个二维数组存储边的信息
（1）二维数组中的对角线为0，以为不存在顶点到自身的边
（2）要知道某个点的出度，就是顶点vi在第i行的元素之和，入度就是该顶点所在列的元素之和
（3）顶点vi的所有邻接点就是吧矩阵中第i行元素扫描一遍
（4）对于有权值的网，二维数组中的元素不再是0,1表示是否存在边，而是把元素值表示为权值。不存在的边，权值记录为∞；对角线上的权值为0.
邻接矩阵定义图演示代码如下：
#include <stdio.h>
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MAXVEX 100
#define IUNFINITY 65535
typedef struct {
VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表*/
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; /* 邻接矩阵 */
int vnum,edgenum; /*定点的个数和边的个数*/
}MGraphy;
void createGraphy(MGraphy *g){
printf("input vetex num and edge num\n");
scanf("%d,%d",&g->vnum,&g->edgenum);
for (int i = 0; i < g->vnum ; i++) { // 输入顶点字符
printf("input %d vetex:",(i+1));
setbuf(stdin, NULL);
scanf("%c",&g->vexs[i]);
}
for(int i=0;i<g->vnum;i++){ // 初始化数组元素 Infonity
for(int j=0;j<g->vnum;j++){
g->arc[i][j] = IUNFINITY;
}
}
printf("input a,b,c represent corner mark and weight\n");
for(int i=0;i<g->edgenum;i++){
int a,b,c=0;
printf("%d edge:",(i+1));
setbuf(stdin,NULL);
scanf("%d,%d,%d",&a,&b,&c);
g->arc[a][b] = c;
g->arc[b][a] = c; // 无向图增加这个
}
}
int main() {
MGraphy g ;
createGraphy(&g);
}
二. 邻接表
邻接矩阵对于顶点多而边数少的稀疏图造成存储空间的大量浪费。正如线性表的预先分配可能造成存储空间浪费，因此引入链式存储结构。同样可以考虑用链表存储边或弧。
邻接表：数组 + 链表
（1）用的数组存储每个节点
（2）数组中的每个节点的所有邻接点组成一个链表(因为邻接点的个数不确定)。这个邻接表就是顶点的出度表
（3）邻接表的图形表示
（4）邻接表关心了出度，但是查找入度就需要遍历整个图
创建邻接表代码演示
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MAXVEX 100
#define IUNFINITY 65535
typedef struct EdgeNode{
int adjvex; /* 邻接点域，该顶点对应的下标 /
EdgeType weight;
EdgeNode next; /* 链，指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode{ /* 顶点表结点 /
VertexType data; / 节点名字 /
EdgeNode firstedge; /* 边表头节点 */
}VertexNode;
typedef struct{
VertexNode adjList[MAXVEX]; /* 顶点表是一个结构体数组，数组中的元素是Vertex节点 /
int vnum,enumber; / 图中当前顶点和边数 */
}GraphyAdjList;
/* 建立邻接表结构 /
void createGraphy(GraphyAdjList g){
EdgeNode e;
printf("input vertexNum and edgeNum:\n");
setbuf(stdin,NULL);
scanf("%d,%d",&g->vnum,&g->enumber);
for (int i = 0; i < g->vnum; i++) {
printf("int %d vertex",(i+1));
setbuf(stdin,NULL);
scanf("%c",&g->adjList[i].data);
g->adjList[i].firstedge = NULL; / 将边表设为空 /
}
/ 建立边表 /
for (int k = 0; k < g->enumber; k++) {
printf("input edge serialize num (i,j):\n");
int i,j;
setbuf(stdin,NULL);
scanf("%d,%d",&i,&j);
e = (EdgeNode ) malloc (sizeof(EdgeNode));
}
}
图的遍历
图的遍历：从图中某一个顶点出发遍历途中其余顶点，每一个顶点仅被访问一次
一、基本思路
（1）树有四种遍历方式，因为根节点只有一个。而图的复杂情况是的顺着一个点向下寻找，极有可能最后又找到自己，形成回路导致死循环。
（2）所以要设置一个数组voisited[n]，n是图中顶点个数，初值为0，当该顶点被遍历后，修改数组元素的值为1
（3）基于此，形成了2中遍历方案：深度优先遍历和广度优先遍历
二、 深度优先遍历(DFS)
-
如下图所示，我们进行深度遍历，一个原则就是，每当我们发现有多个出度时，选择右手边的出度作为下一个遍历的顶点路径。
（1）从A出发，发现出度为B，F。选择右手边的B。A->B
（2）从B出发，出度为C,I,G，选择右手边的C
（3）从C出发，出度为I,D，选择右手边的D
（4）从D出发，出度为I,G,H,E，选择右手边的E
（5）从E出发，出度为H,F，选择右手边的F
（6）从F出发，出度为A,G，选择右手边的A，但发现A已经被遍历过，所以选择G
（7）从G出发，出度为B,D,H，B,D访问过了，选择H
（8）从H出发，出度为D,F，均被访问过了。但此时图中的节点并没有遍历完全，因此我们要按原路返回，去找没走过的路
（9）回退到G，发现所连接的BDFH均被访问；
（10）回退到F，没有通道；回退到E，没有通道，回退到D，发现一个点I，进行标记(若此时与D相邻的还有其他顶点，则在此时一起进行标记)；然后继续回退到A，走完整个路 -
邻接矩阵下的深度遍历
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int visited[MAXVEX] = {0};
void DFS(MGraphy g,int i){
visited[i] = 1;
printf("%c,\t",g.vexs[i]);
for (int j = 0; j < g.vnum; j++) {
if(g.arc[i][j]!=0 && g.arc[i][j]!=IUNFINITY && !visited[j]){
DFS(g,j);
}
}
}
void DFSTraverse(MGraphy g){
printf("deep first search begin.\n");
for (int i = 0; i < g.vnum; i++) {
if(!visited[i]){
DFS(g,i);
}
}
}
int main() {
MGraphy g ;
createGraphy(&g);
printf("graphy create success ! ! !\n");
DFSTraverse(g);
}
- 邻接表下的深度遍历
int visited[MAXVEX] = {0};
void DFS(Graph g, int i){
printf("%c",g.vset[i].name);
visited[i] = 1;
EdgeNode *edgeNode = g.vset[i].firstedgeNode;
while(edgeNode!=NULL){
if(!visited[edgeNode->index])
DFS(g,edgeNode->index);
edgeNode = edgeNode->next;
}
}
void DFStraverse(Graph g){
for (int i = 0; i < g.vNum; i++) { // 用于不同连通分量
if(!visited[i])
DFS(g,i);
}
}
int main() {
Graph g;
createGraphy(&g);
printf("create graphy success ! ! !\n");
DFStraverse(g);
}
三、 广度优先遍历
-
广度优先遍历类似输的层次遍历
（1）先入队列一个元素
（2）弹出队列顶端的1个元素打印，并把它连接的顶点入队
（3）重复以上过程，直到队列为空 -
BFS的过程
-
BFS的实现
（1）邻接矩阵的BFS
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MAXVEX 100
#define IUNFINITY 65535
typedef struct {
VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表/
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; / 邻接矩阵 /
int vnum,edgenum; /定点的个数和边的个数*/
}MGraphy;
/**
邻接矩阵遍历图
@param g
*/
void BFSTraverse(MGraphy g){
SeqQueue queue;
initQueue(queue); // 顺序表实现的队列，先初始化
int visited[] = {0}; // 初始化每个结点对应为未访问
int a;
for(int i=0;i<g.vnum;i++){ // 对每个结点进行深度遍历
if(visited[i] == 0){
visited[i] = 1;
printf("%c",g.vexs[i]); // 深度遍历后对结点进行打印操作
enQueue(queue,i); // 将节点放到队列中
while (queueLength(queue)){
deQueue(queue,&a); // 取出对头元素，进行广度遍历
for (int j = 0; j < g.vnum; ++j) {
if(g.arc[a][j] == 1 && visited[j]==0){ // 存在边，且对应的店没有方问过
visited[j] = 1;
printf("%c",g.vexs[j]);
enQueue(queue,j); // 遍历后再入队
}
}
}
}
}
}
（2）邻接表的BFS
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MAXVEX 100
#define IUNFINITY 65535
typedef struct EdgeNode{
int adjvex; /* 邻接点域，该顶点对应的下标 */
EdgeType weight;
EdgeNode *next; /* 链，指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode{ /* 顶点表结点 */
VertexType data; /* 节点名字 */
EdgeNode *firstedge; /* 边表头节点 */
}VertexNode;
typedef struct{
VertexNode adjList[MAXVEX]; /* 顶点表是一个结构体数组，数组中的元素是Vertex节点 */
int vnum,enumber; /* 图中当前顶点和边数 */
}GraphyAdjList;
/**
* 广度优先遍历邻接表
* @param g
*/
void BFSTraverse2(GraphyAdjList *g){
SeqQueue *queue;
initQueue(queue);
int a;
int visited[g->vnum] = {0};
for (int i = 0; i < g->vnum; ++i) {
if(visited[i] == 0){
visited[i] = 1;
printf("%c",g->adjList[i].data); // 打印定点
enQueue(queue,i);
while(queueLength(queue)!=0){
deQueue(queue,&a);
EdgeNode *p = g->adjList[i].firstedge; // 进入结点的邻接表
while (p!=NULL){
if(visited[p->adjvex] != 0){
visited[p->adjvex] == 1;
printf("%c\n",g->adjList[p->adjvex].data);
enQueue(queue,p->adjvex);
}
p = p->next;
}
}
}
}
}
最小生成树
一、应用场景
设想有9个村庄，这些村庄构成如下图所示的地理位置，每个村庄的直线距离都不一样。若要在每个村庄间架设网络线缆，若要保证成本最小，则需要选择一条能够联通9个村庄，且长度最小的路线。
二. 最小生成树
- 最小生成树的概念
（1）一个带权值的图：网。所谓最小成本，就是用n-1条边把n个顶点连接起来，且连接起来的权值最小。
（2）我们把构造联通网的最小代价生成树称为最小生成树
（3）普里姆算法和克鲁斯卡尔算法 - 普里姆算法
如下图，普利姆的最小生成树过程为：用Vs存储已经遍历的点，用Es存储已经遍历的边
（1）选择D为起点，加入Vs，与D连接的边中，权值最小的边为5，连接的点为A，因此将A加入到Vs，路径DA加入到Es。
（2）此时Vs中存在D和A。与DA连接的边中，权值最小的为6，连接的点为F，因此F加入到Vs，边DF加入到Es。
（3）此时Vs中存在DAF，与DAF连接的边中最小权值为7，连接的点为B，因此B加入Vs，路径AB加入Es
（4）重复以上过程，知道Vs中加入了所有的点 - 克鲁斯卡尔算法
克鲁斯卡尔算法从边的集合中挑选权值最小的，加入到选择的边集合中。如果这条边，予以选择的边构成了回路，则舍弃这条边。
如下图所示，克鲁斯卡尔的方法为：
（1）选择权值最小为7的边V7-V4
（2）选择权值最小为8的边V2-V8
（3）选择权值最小为10的边V1-V0
（4）选择权值最小为11的边V0-V5
（5）选择全职最小为12的边V1-V8,但是发现V1和V8全部是已经访问的点，所以会构成回路，舍弃
（6）选择权值最小为16的边V1-V6
（7）选择权值最小为16的边V3-V7
最短路径
一. 迪杰斯特拉
-
迪杰斯特拉算法
（1）迪杰斯特拉，计算的是一个点到其余所有点的最短路径。
（2）它的基本思想：
如果点 i 到点 j 的最短路径经过k，则ij路径中，i到k的那一段一定是i到k的最短路径。 -
查找方法：
（1）声明2个一维数组：一个用来标识当前顶点是否已经找到最短路径。另一个数组用来记录v0到该点的最短路径中，该点的前一个顶点是什么。
（2）比较：计算v0到vi的最短路径时，比较v0vi与v0vk+vkvi的大小，而v0vk与vkvi的值是暂时得出的记录在数组中的最短路径。 -
算法实现：基于邻接矩阵
#include "graphy/graphy.c" // 邻接矩阵
#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535
typedef int Pathmatrix[MAXVEX]; //存储最短路径下标的数组
typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; //存储到各点最短路径的权值和
/**
* 迪杰斯特拉：求有向图G的V[0]到其余各点的最短路径及带权长度
* @return
*/
void shortestPath_Dijkstra(MGraphy *g,int v0,Pathmatrix *p,ShortPathTable *sptable){
int final[MAXVEX] = {0};
*p = {0}; // 初始化最短路径数组为0
for (int i = 0; i < g->vnum; ++i)
(*sptable)[i] = g->arc[v0][i]; //初始化sptable：让最短路径为图中v0和其余各顶点的权值
(*sptable)[v0] = 0; // sptable记录v0到v0的权值为0
final[v0] = 1; // final数组，记录以求得v0到v0的最短路径
/* 每次循环求得v0到顶点v的最短路径 */
for (int i = 0; i< g->vnum ; ++i) {
int min = INFINITY;
int k;
for (int j = 0; j < g->vnum; ++j) { // 循环每个顶点
if(! final[j] && (*sptable)[j] < min){
k = j; // 这个k只是把j的作用域扩大出去，供后面计算a
min = (*sptable)[j]; // 让min=当前被遍历顶点与v0点的边的权值
}
final[k] = 1;
for (int w = 0; w < g->vnum ; ++w) {
int a = min+g->arc[k][w]; // 上面让k=j，所以a=(*sptable)[j] + g->arc[j][w]。也就是：比如计算a0到a2，就比较a0a1+a1a2 与邻接矩阵中的a0a2边的权值
if(! final[w] && a < (*sptable)[w]) {
(*sptable)[w] = a;
(*p)[w] = k; // 这个k就是:假设该等式角标与程序无关，计算 a[i][j] > a[i][k]+a[k][j]，记录i到j的最短路径中，j前面的节点
}
}
}
}
}
二. 弗洛伊德算法
- 弗洛伊德与迪杰斯特拉的区别
（1）它们都是基于比较v0vi与v0vk+vkvi的大小的基本算法。
（2）弗洛伊德三次循环计算出了每个点个其他点的最短路径，迪杰斯特拉算法用2次循环计算出了一个点到其他各点的最短路径 。
（3）如果要计算出全部的点到其他点的最短路径，他们都是O(n2)
typedef int Pathmatrix_Floyd[MAXVEX][MAXVEX]; //存储最短路径下标的数组
typedef int ShortPathTable_Floyd[MAXVEX][MAXVEX]; //存储到各点最短路径的权值和
void shortPath_Floyd(MGraphy *g,Pathmatrix_Floyd *p,ShortPathTable_Floyd *D){
for (int i = 0; i < ; ++i) {
for (int j = 0; j < g->vnum; ++j) {
(*D)[i][j] = g -> arc[i][j];
(*p)[i][j] = j;
}
}
for (int i = 0; i < g->vnum; ++i) {
for (int j = 0; j < g->vnum; ++j) {
for (int k = 0; k < g->vnum; ++k) {
if((*D)[j][k] > (*D)[j][i]+(*D)[i][k]){
(*D)[j][k] = (*D)[j][i]+(*D)[i][k];
(*p)[j][k] = (*p)[j][i];
}
}
}
}
}
拓扑排序
一. 拓扑排序的概念
- 拓扑排序是对AOV网输出的一个序列
- AOV网（Active on Vertex Network）：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系。这样的图称为活动的网。
二. 拓扑排序的算法
-
步骤：
从AOV网中选择一个入度为0的顶点然后删除此顶点，并删除以此顶点为。重复此步骤，直到输出全部顶点或AOV网中不存在入度为0的顶点为止。 -
拓扑排序中顶点的数据结构：
（1）前面求最小生成树和最短路径时，都是使用邻接矩阵，但由于拓扑排序中，需要删除顶点，所以使用邻接表方便。
（2）因为拓扑排序中，需要删除入度为0的顶点，所以在原先的顶点数据结构中，加入入度域in。使顶点接都变为
#include <malloc.h>
#define MAXVEX 100
typedef struct EdgeNode{ /* 边表 */
int adjvex; /* 顶点下标 */
int weight; /* 权值 */
struct EdgeNode *next; /* 边表中的下一节点 */
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode{ /* 定点表 */
int in;
int data;
EdgeNode *firstEdge;
}VertexNode,AdjList[MAXVEX];
typedef struct{
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges;
}graphAdjList,* GraphAdjList;
/**
* 拓扑排序
* @param gl ：链表
* @return ：若GL无回路，则输出排序序列并返回1；若有回路则返回-1
*/
int topologicalSort(GraphAdjList gl){
int *stack = (int *)malloc(gl->numVertexes * sizeof(int)); // stack用于存储入度为0的节点
int top = 0; // stack栈顶指针
int count; // 加入到栈中节点个数
for (int i = 0; i < gl->numVertexes; ++i)
if(gl->adjList[i].in == 0)
stack[++top] = i;
while(top!=0){
int gettop = stack[top--];
printf("%d -> ",gl->adjList[gettop].data);
count ++;
for(EdgeNode *e=gl->adjList[gettop].firstEdge; e ; e=e->next){
int k = e->adjvex; // 顶点的下标
if( ! (-- gl->adjList[k].in)) // 将k号顶点入度减1
stack[++top] = k; // 如果发现入度为0，则把该顶点加入到栈中
}
}
int res = (count < gl->numVertexes) ? -1 : 1; // 如果最后遍历到的个数小于图的总定点数，则说明有环存在，返回-1
return res;
}
关键路径
一. 概念
-
拓扑排序是解决一个工程能否顺序进行的问题，
-
当需要计算一个工程完成的最短时间，就需要用关键路径。
-
拓扑排序使用的是AOV网（定点表示活动）。关键路径使用AOE网（边表示活动）。AOV网只能表示活动之间的制约关系，而AOE网可以用变得权值表示活动的持续时间。所以AOE网是建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础上，再来分析整个工程需要多少时间。
-
路径长度：路径上各个活动持续的时间之和
关键路径：从源点到汇点具有的最大长度的路径
关键活动：关键路径上的活动
二. 关键路径算法
- 关键路径算法中需要的变量：
（1）事件最早开始时间etv（earlist time of vertex）：顶点vk的最早发生时间
（2）事件最晚开始时间ltv（latest time of vertex） ：顶点vk的最晚发生时间，超过此时间，会延误整个工期
（3）活动最早开始时间（earlist time of edge）：弧ak的最早发生时间
（4）活动最晚开始时间（latest time of edge） ：弧ak的最晚发生时间，就是不推迟工期的最晚开始时间
int *etv,*ltv; /* 事件最早,最晚发生时间 */
int *stack2; /* 用于存储拓扑排序的栈 */
int top2 = 0; /* stack2的栈顶指针 */
int topologicalSort2(GraphAdjList gl){
int *stack = (int *)malloc(gl->numVertexes * sizeof(int)); /* 建栈将入度为0的顶点入栈 */
int top = 0;
for (int i = 0; i < gl->numVertexes; ++i) {
if(0 == gl->adjList[i].in)
stack[++top] = i;
}
etv = (int *)malloc(gl->numVertexes * sizeof(int)); /* 时间最早开时间数组 */
for (int i = 0; i < gl->numVertexes; ++i) /* 初始化最早开始时间数组全0 */
etv[i] = 0;
int count = 0;
stack2 = (int *)malloc(gl->numVertexes * sizeof(int));
while (top !=0 ){
int gettop = stack[top--];
count ++;
stack2[++top2] = gettop; /* 将弹出的顶点序号压入拓扑排序的栈 */
for (EdgeNode *e = gl->adjList[gettop].firstEdge; e ; e = e->next) {
int k = e->adjvex;
if( !(-- gl->adjList[k].in) )
stack[++top] = k;
if( (etv[gettop] + e->weight) > etv[k] ) /* 求各点事件最早发生时间值 */
etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
}
}
if(count < gl->numVertexes)
return -1;
else
return 1;
}
void criticalPath(GraphAdjList gl){
topologicalSort2(gl);
ltv = (int *) malloc (gl->numVertexes * sizeof(int)); /* 事件最晚发生时间 */
for (int i = 0; i < gl->numVertexes; ++i)
ltv[i] = etv[gl->numVertexes -1]; /* 初始化ltv */
int k;
while(top2 != 0){
int gettop = stack2[top2--];
for(EdgeNode *e=gl->adjList[gettop].firstEdge ; e ; e=e->next){
k = e->adjvex;
if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
}
}
for (int j = 0; j < gl->numVertexes; ++j) {
for (EdgeNode *e = gl->adjList[j].firstEdge; e ; e = e->next) {
k = e->adjvex;
int ete = etv[j]; /* 活动最早发生时间 */
int lte = ltv[k] - e->weight; /* 活动最迟发生时间 */
if(ete == lte)
printf("<v_%d , v_%d> length: %d",gl->adjList[j].data,gl->adjList[k].data,e->weight);
}
}
}