数据结构之图的遍历

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/zhangquan2015/article/details/82841205

图的遍历是和树的遍历类似，我们希望从图中某一点出发访问图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历。

深度优先遍历

深度优先遍历，也称之为深度优先搜索，简称DFS。首先指定一个规则，在没有碰到重复顶点的情况下，始终向右手边走，A-B-C-D-E-F，走到F时发现A(已被标记)已经走过了，因此选择从右数第二条路，到了G-H，此时H周围的结点都被标记已经走过了。
此时是否已经遍历了所有的顶点？没有。所以，我们原路返回，从H回到G，还是无路可走，再返回到F、E、D，到D时发现有个I没有走过，标记下来，继续返回，直到回到A完成遍历任务。可以发现深度优先遍历是一个递归过程，类似于树的前序遍历。

1. 采用数组的方式：邻接矩阵， $O(n^2)$。
2. 采用链表的方式：邻接表， $O(n+e)$，适合点多边少的稀疏图。

深度优先搜索遇到如下情况需要中断当前搜索并返回上一状态，俗称"剪枝"：

1. 当前状态无法在进行状态迁移时
2. 状态迁移生成了曾经生成过的状态时
3. 根据问题性质可断定搜索无法找到答案时(无解)

对于有向图而言，由于它只是对通道存在可行或不可行，算法上没有变化，是完全可以通用的。

广度优先遍历

如果说图的深度优先遍历类似于树的前序遍历，那么图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历。可将如下左图稍微变形，变形原则是顶点A放在最上一层，让与它有边的顶点B、F为第二层，再让与B和F有边的顶点C、I、G、E为第三层，再将这第四个顶点有边的D、H放在第四层：

图的深度和广度遍历(邻接矩阵)

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
#define MAXSIZE 9 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAXEDGE 15
#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535
typedef struct
{
	VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
	EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵，可看作边表 */
	int numVertexes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;
/* 用到的队列结构与函数********************************** */
/* 循环队列的顺序存储结构 */
typedef struct
{
	int data[MAXSIZE];
	int front;    	/* 头指针 */
	int rear;		/* 尾指针，若队列不空，指向队列尾元素的下一个位置 */
}Queue;
/* 初始化一个空队列Q */
Status InitQueue(Queue *Q)
{
	Q->front = 0;
	Q->rear = 0;
	return  OK;
}
/* 若队列Q为空队列,则返回TRUE,否则返回FALSE */
Status QueueEmpty(Queue Q)
{
	if (Q.front == Q.rear) /* 队列空的标志 */
		return TRUE;
	else
		return FALSE;
}
/* 若队列未满，则插入元素e为Q新的队尾元素 */
Status EnQueue(Queue *Q, int e)
{
	if ((Q->rear + 1) % MAXSIZE == Q->front)	/* 队列满的判断 */
		return ERROR;
	Q->data[Q->rear] = e;			/* 将元素e赋值给队尾 */
	Q->rear = (Q->rear + 1) % MAXSIZE;/* rear指针向后移一位置， */
									  /* 若到最后则转到数组头部 */
	return  OK;
}
/* 若队列不空，则删除Q中队头元素，用e返回其值 */
Status DeQueue(Queue *Q, int *e)
{
	if (Q->front == Q->rear)			/* 队列空的判断 */
		return ERROR;
	*e = Q->data[Q->front];				/* 将队头元素赋值给e */
	Q->front = (Q->front + 1) % MAXSIZE;	/* front指针向后移一位置， */
											/* 若到最后则转到数组头部 */
	return  OK;
}
/* ****************************************************** */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
	int i, j;
	G->numEdges = 15;
	G->numVertexes = 9;
	/* 读入顶点信息，建立顶点表 */
	G->vexs[0] = 'A';
	G->vexs[1] = 'B';
	G->vexs[2] = 'C';
	G->vexs[3] = 'D';
	G->vexs[4] = 'E';
	G->vexs[5] = 'F';
	G->vexs[6] = 'G';
	G->vexs[7] = 'H';
	G->vexs[8] = 'I';
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
	{
		for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
		{
			G->arc[i][j] = 0;
		}
	}
	G->arc[0][1] = 1;
	G->arc[0][5] = 1;
	G->arc[1][2] = 1;
	G->arc[1][8] = 1;
	G->arc[1][6] = 1;
	G->arc[2][3] = 1;
	G->arc[2][8] = 1;
	G->arc[3][4] = 1;
	G->arc[3][7] = 1;
	G->arc[3][6] = 1;
	G->arc[3][8] = 1;
	G->arc[4][5] = 1;
	G->arc[4][7] = 1;
	G->arc[5][6] = 1;
	G->arc[6][7] = 1;
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
	{
		for (j = i; j < G->numVertexes; j++)
		{
			G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
		}
	}

}
Boolean visited[MAXVEX]; /* 访问标志的数组 */
						 /* 邻接矩阵的深度优先递归算法 */
void DFS(MGraph G, int i)
{
	int j;
	visited[i] = TRUE;
	printf("%c ", G.vexs[i]);/* 打印顶点，也可以其它操作 */
	for (j = 0; j < G.numVertexes; j++)
		if (G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
			DFS(G, j);/* 对为访问的邻接顶点递归调用 */
}
/* 邻接矩阵的深度遍历操作 */
void DFSTraverse(MGraph G)
{
	int i;
	for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
		visited[i] = FALSE; /* 初始所有顶点状态都是未访问过状态 */
	for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
		if (!visited[i]) /* 对未访问过的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次 */
			DFS(G, i);
}
/* 邻接矩阵的广度遍历算法 */
void BFSTraverse(MGraph G)
{
	int i, j;
	Queue Q;
	for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
		visited[i] = FALSE;
	InitQueue(&Q);		/* 初始化一辅助用的队列 */
	for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)  /* 对每一个顶点做循环 */
	{
		if (!visited[i])	/* 若是未访问过就处理 */
		{
			visited[i] = TRUE;		/* 设置当前顶点访问过 */
			printf("%c ", G.vexs[i]);/* 打印顶点，也可以其它操作 */
			EnQueue(&Q, i);		/* 将此顶点入队列 */
			while (!QueueEmpty(Q))	/* 若当前队列不为空 */
			{
				DeQueue(&Q, &i);	/* 将队对元素出队列，赋值给i */
				for (j = 0; j<G.numVertexes; j++)
				{
					/* 判断其它顶点若与当前顶点存在边且未访问过  */
					if (G.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
					{
						visited[j] = TRUE;			/* 将找到的此顶点标记为已访问 */
						printf("%c ", G.vexs[j]);	/* 打印顶点 */
						EnQueue(&Q, j);				/* 将找到的此顶点入队列  */
					}
				}
			}
		}
	}
}
int main(void)
{
	MGraph G;
	CreateMGraph(&G);
	printf("\n深度遍历：");
	DFSTraverse(G);
	printf("\n广度遍历：");
	BFSTraverse(G);
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：

深度遍历：A B C D E F G H I
广度遍历：A B F C G I E D H

图的深度和广度遍历(邻接表)

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 9 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAXEDGE 15
#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535
typedef int Status;	/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */
typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
					  /* 邻接矩阵结构 */
typedef struct
{
	VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
	EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];/* 邻接矩阵,可看作边表 */
	int numVertexes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;
/* 邻接表结构****************** */
typedef struct EdgeNode /* 边表结点 */
{
	int adjvex;    /* 邻接点域,存储该顶点对应的下标 */
	int weight;		/* 用于存储权值,对于非网图可以不需要 */
	struct EdgeNode *next; /* 链域,指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
	int in;	/* 顶点入度 */
	char data; /* 顶点域,存储顶点信息 */
	EdgeNode *firstedge;/* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
	AdjList adjList;
	int numVertexes, numEdges; /* 图中当前顶点数和边数 */
}graphAdjList, *GraphAdjList;
/* **************************** */
/* 用到的队列结构与函数********************************** */
/* 循环队列的顺序存储结构 */
typedef struct
{
	int data[MAXSIZE];
	int front;    	/* 头指针 */
	int rear;		/* 尾指针,若队列不空,指向队列尾元素的下一个位置 */
}Queue;
/* 初始化一个空队列Q */
Status InitQueue(Queue *Q)
{
	Q->front = 0;
	Q->rear = 0;
	return  OK;
}
/* 若队列Q为空队列,则返回TRUE,否则返回FALSE */
Status QueueEmpty(Queue Q)
{
	if (Q.front == Q.rear) /* 队列空的标志 */
		return TRUE;
	else
		return FALSE;
}
/* 若队列未满,则插入元素e为Q新的队尾元素 */
Status EnQueue(Queue *Q, int e)
{
	if ((Q->rear + 1) % MAXSIZE == Q->front)	/* 队列满的判断 */
		return ERROR;
	Q->data[Q->rear] = e;			/* 将元素e赋值给队尾 */
	Q->rear = (Q->rear + 1) % MAXSIZE;/* rear指针向后移一位置, */
									  /* 若到最后则转到数组头部 */
	return  OK;
}
/* 若队列不空,则删除Q中队头元素,用e返回其值 */
Status DeQueue(Queue *Q, int *e)
{
	if (Q->front == Q->rear)			/* 队列空的判断 */
		return ERROR;
	*e = Q->data[Q->front];				/* 将队头元素赋值给e */
	Q->front = (Q->front + 1) % MAXSIZE;	/* front指针向后移一位置, */
											/* 若到最后则转到数组头部 */
	return  OK;
}
/* ****************************************************** */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
	int i, j;
	G->numEdges = 15;
	G->numVertexes = 9;
	/* 读入顶点信息,建立顶点表 */
	G->vexs[0] = 'A';
	G->vexs[1] = 'B';
	G->vexs[2] = 'C';
	G->vexs[3] = 'D';
	G->vexs[4] = 'E';
	G->vexs[5] = 'F';
	G->vexs[6] = 'G';
	G->vexs[7] = 'H';
	G->vexs[8] = 'I';
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
	{
		for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
		{
			G->arc[i][j] = 0;
		}
	}
	G->arc[0][1] = 1;
	G->arc[0][5] = 1;
	G->arc[1][2] = 1;
	G->arc[1][8] = 1;
	G->arc[1][6] = 1;
	G->arc[2][3] = 1;
	G->arc[2][8] = 1;
	G->arc[3][4] = 1;
	G->arc[3][7] = 1;
	G->arc[3][6] = 1;
	G->arc[3][8] = 1;
	G->arc[4][5] = 1;
	G->arc[4][7] = 1;
	G->arc[5][6] = 1;
	G->arc[6][7] = 1;
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
	{
		for (j = i; j < G->numVertexes; j++)
		{
			G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
		}
	}
}
/* 利用邻接矩阵构建邻接表 */
void CreateALGraph(MGraph G, GraphAdjList *GL)
{
	int i, j;
	EdgeNode *e;
	*GL = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));
	(*GL)->numVertexes = G.numVertexes;
	(*GL)->numEdges = G.numEdges;
	for (i = 0; i <G.numVertexes; i++) /* 读入顶点信息,建立顶点表 */
	{
		(*GL)->adjList[i].in = 0;
		(*GL)->adjList[i].data = G.vexs[i];
		(*GL)->adjList[i].firstedge = NULL; 	/* 将边表置为空表 */
	}
	for (i = 0; i<G.numVertexes; i++) /* 建立边表 */
	{
		for (j = 0; j<G.numVertexes; j++)
		{
			if (G.arc[i][j] == 1)
			{
				e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
				e->adjvex = j;					/* 邻接序号为j */
				e->next = (*GL)->adjList[i].firstedge;	/* 将当前顶点上的指向的结点指针赋值给e */
				(*GL)->adjList[i].firstedge = e;		/* 将当前顶点的指针指向e */
				(*GL)->adjList[j].in++;
			}
		}
	}
}
Boolean visited[MAXSIZE]; /* 访问标志的数组 */
						  /* 邻接表的深度优先递归算法 */
void DFS(GraphAdjList GL, int i)
{
	EdgeNode *p;
	visited[i] = TRUE;
	printf("%c ", GL->adjList[i].data);/* 打印顶点,也可以其它操作 */
	p = GL->adjList[i].firstedge;
	while (p)
	{
		if (!visited[p->adjvex])
			DFS(GL, p->adjvex);/* 对为访问的邻接顶点递归调用 */
		p = p->next;
	}
}
/* 邻接表的深度遍历操作 */
void DFSTraverse(GraphAdjList GL)
{
	int i;
	for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
		visited[i] = FALSE; /* 初始所有顶点状态都是未访问过状态 */
	for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
		if (!visited[i]) /* 对未访问过的顶点调用DFS,若是连通图,只会执行一次 */
			DFS(GL, i);
}
/* 邻接表的广度遍历算法 */
void BFSTraverse(GraphAdjList GL)
{
	int i;
	EdgeNode *p;
	Queue Q;
	for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
		visited[i] = FALSE;
	InitQueue(&Q);
	for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
	{
		if (!visited[i])
		{
			visited[i] = TRUE;
			printf("%c ", GL->adjList[i].data);/* 打印顶点,也可以其它操作 */
			EnQueue(&Q, i);
			while (!QueueEmpty(Q))
			{
				DeQueue(&Q, &i);
				p = GL->adjList[i].firstedge;	/* 找到当前顶点的边表链表头指针 */
				while (p)
				{
					if (!visited[p->adjvex])	/* 若此顶点未被访问 */
					{
						visited[p->adjvex] = TRUE;
						printf("%c ", GL->adjList[p->adjvex].data);
						EnQueue(&Q, p->adjvex);	/* 将此顶点入队列 */
					}
					p = p->next;	/* 指针指向下一个邻接点 */
				}
			}
		}
	}
}
int main(void)
{
	MGraph G;
	GraphAdjList GL;
	CreateMGraph(&G);
	CreateALGraph(G, &GL);
	printf("\n深度遍历:");
	DFSTraverse(GL);
	printf("\n广度遍历:");
	BFSTraverse(GL);
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：

深度遍历：A F G H E D I C B
广度遍历：A F B G E I C H D