版权声明：报名咨询QQ：3246333637，本文为 张晨光老师 创作，未经博主允许不得转载 https://blog.csdn.net/zhangchen124/article/details/51678312
目标.
在本章中，你将学习到：
图相关的概念
实现图
应用图解决编程问题
考虑一种情况：
你必须访问一系列城市并且在结束的时候返回原来的城市。
对此，你需要：
找到最短或花费最少的路径，它开始于当前的城市，访问每一个预期的城市，然后返
回原来的城市。
你如何解决此问题？
要解决此问题，你需要：
确定属于不同城市的信息的表示方式和城市间的距离的表示方式。
这种关系可以在图中表示。
图被定义为一种数据结构，它由一系列顶点（节点）和边（弧）组成。
它是数据项
(
顶点
)
的集合，这些数据项被相互连接以形成网络。
有两种类型的图：
有向图
无向图
为了实现图，你需要首先以图的形式表示给出的信息。
两种最通用的表示图的方式是：
邻接矩阵
(
二维数组
)
邻接表
(
链表
)
遍历图表示访问图中的所有顶点。
你可以在下面两个方法的帮助下遍历图：
深度优先搜索
(DFS)
广度优先搜索
(BFS)
算法：
DFS
（
v
）
1.
将起始顶点
v
压入栈中。
2.
重复直到栈变成空：
a.
从栈中弹出顶点。
b.
访问弹出的顶点。
c.
将所有与弹出的顶点相邻接的未访问顶点压入栈。
d.
算法：
BFS
（
v
）
1.
访问起始顶点
v
并且将它插入队列。
2.
重复步骤
3
直到队列变成空。
3.
从队列删除队头顶点，访问所有它未访问的邻接顶点，并且将它们插入到队列
中。
4.
许多问题可以通过以图的形式减少它们而容易的解决。
图论是在不同领域中分析和解决问题的手段，例如
计算机网络设计、城
市计划、找到最短路径和分子生物学
。
假设要在
n
个城市之间建立通讯联络网，则连通
n
个城市只需要修建
n-1
条线路，
如何在最节省经费的前提下建立
这个
通讯网
？
(
比如说开封、安阳、许昌、驻马店、
濮阳、焦作
)
最小生成树:普里姆算法
取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根，之后往生成树上添加新
的顶点 w。
在添加的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间必定存在
一条边，并且该边的权值在所有连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小
。
之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有 n-1 个顶点为止。
克鲁斯卡尔算法
先构造一个只含
n
个顶点的子图
SG
，然后从权值最小的边开始，
若它的添加不使
SG
中产生回路，则在
SG
上加上这条边，如此重
复，直至加上
n-1
条边为止。
解决最短路径问题
最短路径问题可以通过在图上应用
Dijkstra
算法来解决。
Dijkstra
算法基于贪婪法。
Dijkstra
算法的步骤如下：
1.
选择顶点
v
，对应与
DISTANCE
数组中记录的最小距离，以便
v
不是已经在
FINAL
中。
2.
添加
v
到
FINAL
。
3.
对于不在
FINAL
中的图中的每个顶点
w
重复：
a.
如果从
v1
到
w
的路径是比之前记录的从
v1
到
w
的距离要短：
i.
设置
DISTANCE[w]=DISTANCE[v] +
边
(v,w)
的权重。
4.
如果
FINAL
没有包含任何顶点，跳转到步骤
1
。
小结
在本章中，你已经学到：
表示图的两种最常用的方法如下：
邻接矩阵
邻接表
遍历图表示访问图中的所有节点。
在图中，没有特定的顶点被指定为起始顶点。因此，图的遍历可能从任何顶点开
始。
你可以在下面两种方法的帮助下遍历图：
DFS
BFS
图论是在不同领域中分析和解决问题的手段，例如计算机网络设计，城市计划，
找到最短路径和分子生物学。
/* 问题描述:你必须以图的形式来表示一系列城市和他们之间的距离.编写一个程序来以邻接矩阵的形式表示图; */
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
namespace GraphsUsingAdjMatrixInCSharp
{
class Graph //图类
{
private string[] vertices = new string[10]; //定义一个字符串数组,用来存储各个顶点
private int[,] cost = new int[10, 10]; //定义一个邻接矩阵,来存储相应的边.(即顶点与顶点之间的距离.)
private int n; //n为顶点的数量.
public Graph() //构造函数
{
n = 0; //初始化有0个顶点
for (int i = 0; i < 10; i++) //i:行
for (int j = 0; j < 10; j++) //j:列
{
cost[i, j] = 0;
}
}//设置初始邻接矩阵的内容均为0
private bool edgeExists() //判断边是否存在
{
for (int i = 0; i < 10; i++)
for (int j = 0; j < 10; j++)
if (cost[i, j] != 0) //如果邻接矩阵存储的内容!=0,则返回真.
return (true);
return (false); //否则,即邻接矩阵的内容为0,返回假
}
public void addVertex() //添加有n个城市方法.
{
string vname; //vname:顶点名称
Console.Write("请输入城市的个数（<10):");
n=Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
for(int k=0;k<n;k++)
{
Console.Write("\n请输入城市: ");
vname = Console.ReadLine();
int i = getIndex(vname); //获得顶点的索引
if (i != -1)
{
Console.WriteLine("\n城市已经存在.");
return;
}
vertices[k] = vname; //将输入的城市名,作为图的顶点放入顶点数组.
}
}
private int getIndex(String vname) //获得顶点索引方法
{
for (int i = 0; i < n; i++)
if (vertices[i] == vname)
return (i); //如果顶点在数组中存在,则返回相应的索引.
return (-1); /*如果顶点在数组中不存在,则返回-1;*/
}
public void addEdge() //增加边方法;城市之间距离。
{
string v1, v2; //v1,v2:始发城市、目标城市
int i1, i2; //i1,i2:获得始发城市、目标城市的索引
if (n == 0)
{
Console.WriteLine("\n没有城市存在，必须先创建城市.");
return;
}
while (true)
{
Console.Write("\n请输入始发城市: ");
v1 = Console.ReadLine();
i1 = getIndex(v1);
if (i1 == -1) //存在,则退出循环.
Console.WriteLine("\n出发城市不存在,请重试.");
else
break; //如果存在则退出循环；否则提示错误信息
}
while (true) //同上,判断v2是否存在
{
Console.Write("\n请输入目标城市: ");
v2 = Console.ReadLine();
i2 = getIndex(v2);
if (i2 == -1)
Console.WriteLine("\n目标城市不存在,请重试.");
else
break;
}
Console.Write("\n请输入距离长度: ");
cost[i1, i2] = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); //设置i1,i2:位置为你从v1到v2的距离.
}
public void display() //显示图的顶点和边的情况.
{
if (n == 0)
{
Console.WriteLine("\n图不存在.");
return;
}
Console.WriteLine("\n城市:");
for (int i = 0; i < n; i++)
Console.WriteLine(vertices[i]);
if (edgeExists()) //边存在,则显示始发城市到目标城市的距离.
{
Console.WriteLine("\n距离:");
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
if (cost[i, j] != 0)
Console.WriteLine(vertices[i] + "->" + vertices[j] + " -- " + cost[i, j]);
}
}
}
class Graph_Program
{
static void Main(string[] args)
{
Graph g = new Graph();
char ch;
do
{
Console.WriteLine();
Console.WriteLine("菜单");
Console.WriteLine("1. 添加城市");
Console.WriteLine("2. 添加距离");
Console.WriteLine("3. 显示");;
Console.WriteLine("4. 退出");
Console.WriteLine();
Console.Write("请输入您的选择: ");
ch = Convert.ToChar(Console.ReadLine());
switch (ch)
{
case '1': g.addVertex(); break;
case '2': g.addEdge(); break;
case '3': g.display(); break;
case '4': break;
default: Console.WriteLine("无效选择."); break;
}
} while (ch != '4');
}
}
}
/*扩充活动1，找出给定城市到所有城市之间的最短距离；迪杰斯特拉算法(Dijkstra)*/
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
namespace GraphsUsingAdjMatrixInCSharp
{
class Graph
{
private string[] vertices = new string[10]; //定义一个字符串数组,用来存储各个顶点
private int[,] cost = new int[10, 10]; //定义一个邻接矩阵,来存储相应的边.(即顶点与顶点之间的距离.)
private int n; //n为顶点的数量.
int infinity = 9999999; //infinity:非常大的一个值,
public Graph()
{
n = 0; //n:个顶点
for (int i = 0; i < 10; i++) //行
for (int j = 0; j < 10; j++) //列
{
if (i == j)
cost[i, j] = 0;
else
cost[i, j] = infinity; //infinity indicates that there is no edge from vertex i to vertex j
}
}
private bool edgeExists()//判断边是否存在
{
for (int i = 0; i < 10; i++)
for (int j = 0; j < 10; j++)
if ((cost[i,j] != 0) && (cost[i,j] != infinity )) //如果邻接矩阵存储的内容!=0,则返回真.
return (true);
return (false);//否则,即邻接矩阵的内容为0,返回假
}
public void addVertex() //添加有n个城市方法.
{
string vname; //vname:顶点名称
Console.Write("请输入城市的个数(小于10):");
n=Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
for(int k=0;k<n;k++)
{
Console.Write("请输入城市: ");
vname = Console.ReadLine();
int i = getIndex(vname); //获得顶点的索引
if (i != -1)
{
Console.WriteLine("\n城市已经存在.");
return;
}
vertices[k] = vname; //将输入的城市名,作为图的顶点放入顶点数组.
}
}
private int getIndex(String vname)//获得顶点索引方法
{
for (int i = 0; i < n; i++)
if (vertices[i] == vname)
return (i);//如果顶点在数组中存在,则返回相应的索引.
return (-1); /*如果顶点在数组中不存在,则返回-1;*/
}
public void addEdge()//增加边方法.
{
string v1, v2;
int i1, i2;
if (n == 0)
{
Console.WriteLine("\n没有城市存在，必须先创建城市.");
return;
}
while (true)
{
Console.Write("\n请输入始发城市: ");
v1 = Console.ReadLine();
i1 = getIndex(v1);
if (i1 == -1)//存在,则退出循环.
Console.WriteLine("\n出发城市不存在,请重试.");
else
break;
}
while (true)//同上,判断v2是否存在
{
Console.Write("\n请输入目标城市: ");
v2 = Console.ReadLine();
i2 = getIndex(v2);
if (i2 == -1)
Console.WriteLine("\n目标城市不存在,请重试.");
else
break;
}
Console.Write("\n请输入距离长度: ");
cost[i1, i2] = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());//设置i1,i2:位置为你从v1到v2的距离.
}
public void display()//显示图的顶点和边的情况.
{
if (n == 0)
{
Console.WriteLine("\n图不存在.");
return;
}
Console.WriteLine("\n城市:");
for (int i = 0; i < n; i++)
Console.WriteLine(vertices[i]);
if (edgeExists())//边存在,则显示始发城市到目标城市的距离.
{
Console.WriteLine("\n距离:");
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
if ((cost[i, j] != 0) && (cost[i, j] != infinity))
Console.WriteLine(vertices[i] + "->" + vertices[j] + " - " + cost[i, j]);
}
}
public void findShortestPath() //寻找最短路径.
{
int[] Distance = new int[10]; //10个距离的数组
bool[] Final = new bool[10]; //10个顶点.
string source; //起始顶点.
int src; //起始顶点标志
if (n == 0)
{
Console.WriteLine("\n图不存在，您必须先插入顶点和边");
return;
}
while (true)
{
Console.WriteLine("\n请键入起始顶点: ");
source = Console.ReadLine();
src = getIndex(source);
if (src == -1)
Console.WriteLine("\n起始顶点不存在");
else
break;
}
/*初始化距离数组*/
for (int i = 0; i < n; i++)
Distance[i] = cost[src, i]; //初始化：起始顶点到其他顶点的距离
Final[src] = true; //Final[0]＝１
for (int i = 1; i < n; i++) //n-1循环
{
/*查找最短距离．*/
int v = 0; /* Find a vertex that is not there in Final. Store its index in v */
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (Final[j] == false)
{
v = j;
break;
}
}
/*在顶点数组中找到距离顶点最小的顶点位置*/
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if ((Final[j] == false) && (Distance[j] < Distance[v]))
v = j;
}
Final[v] = true;
/* Compute the distance of all nodes via node with index min */
for (int w = 0; w < n; w++)
{
if (Final[w] == false) //Final[1]==false
{
if (Distance[v] + cost[v, w] < Distance[w]) //Distance[3]+cost[3,1]=3+~ <Distance[1]=5 结果不成立．
Distance[w] = Distance[v] + cost[v, w];
}
}
}
Console.WriteLine("\n顶点集合中的最小路径为" + source + "是: ");
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (Distance[j] == infinity)
Console.WriteLine(source + " -> " + vertices[j] + "=没有路径");
else
Console.WriteLine(source + " -> " + vertices[j] + " = " + Distance[j]);
}
}
}
class Graph_Program
{
static void Main(string[] args)
{
Graph g = new Graph();
char ch;
do
{
Console.WriteLine();
Console.WriteLine("菜单");
Console.WriteLine("1. 添加城市");
Console.WriteLine("2. 添加距离");
Console.WriteLine("3. 显示");
Console.WriteLine("4.从给定的顶点中寻找最短路径");
Console.WriteLine("4. 退出");
Console.WriteLine();
Console.Write("请输入您的选择: ");
ch = Convert.ToChar(Console.ReadLine());
switch (ch)
{
case '1': g.addVertex(); break;
case '2': g.addEdge(); break;
case '3': g.display(); break;
case '4': g.findShortestPath(); break;
case '5': break;
default: Console.WriteLine("无效选择."); break;
}
} while (ch != '5');
}
}
}