理解傅里叶（一）

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参考知乎: 知乎

任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。

傅里叶级数(Fourier Series)的频谱

不同频率的正弦波叠加可以有很惊讶的效果
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一般不同频率的正弦波称之为频率分量, 把第一个频率最低的频率分量看作“1”，如果我们将一个角频率为 $\omega_0$ 的正弦波cos（ $\omega_0$ t）看作基础，那么频域的基本单元就是 $\omega_0$ 。
频域的“0”是值 $c o s (0 t)$ , 就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线, 在频域中，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
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对于一个矩形波它在频域的示意图可能如下:

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这就是之前的分解图从侧面看到的样子

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在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。

傅里叶分析的作用

求解微分方程是一件麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法
$s i n (3 x) + s i n (5 x)$ 时域图像复杂, 频域图像就两条竖线, 工程上的滤波原理也是这样

傅里叶级数(Fourier Series)的相位谱

频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位

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小红点是距离频率轴最近的波峰, 而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
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时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。

相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为 $c o s (t + P i) = - c o s (t)$ ，所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于 $c o s (t + 2 P i) = c o s (t)$ ，所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
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傅里叶变换（Fourier Transformation）

傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是生活中并不总是无限的东西.
傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。

而傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。

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连续谱是什么样子呢, 每个频率切片都对应一个余弦信号, 连绵不绝, 原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。

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将正弦波统一成指数形式

需要用到欧拉公式:
虚数i是-1的平方根, 数轴的数字乘-1就相当于旋转了180°, 乘一次 i 就是旋转了90度。
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我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。
欧拉公式:

x等于Pi的时候

看下图:

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欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
也就是说, 正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。