机器学习的数学基础-（一、高等数学）（转）

一、高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左、右导数分别定义为：

左导数： ${{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)$

右导数： ${{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $\Leftrightarrow f(x)$ 在 $x_0$ 处可导

Th2: 若函数在点 $x_0$ 处可导，则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: ${f}'({{x}_{0}})$ 存在 $\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$ 法线方程： $y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0$

5.四则运算法则
设函数 $u=u(x)，v=v(x)$ 在点 $x$ 可导则
(1) $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$ $d(u\pm v)=du\pm dv$
(2) $(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$
(3) $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$

6.基本导数与微分表
(1) $y=c$ （常数）

${y}'=0$ ， $dy=0$
(2) $y={{x}^{\alpha }}$ ( $\alpha$ 为实数)

${y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ ， $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$
(3) $y={{a}^{x}}$

${y}'={{a}^{x}}\ln a$ ， $dy={{a}^{x}}\ln adx$
特例: $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}$ ， $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$

(4) ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$
特例: $y=\ln x$ ， $(\ln x{)}'=\frac{1}{x}$ ， $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$

${y}'=\cos x$ ， $d(\sin x)=\cos xdx$ ， $y=\cos x$

(6) $y=\cos x$

${y}'=-\sin x$ ， $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$

${y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$ ， $d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$
(8) $y=\cot x$

${y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$ ， $d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$
(9) $y=\sec x$

${y}'=\sec x\tan x$ ， $d(\sec x)=\sec x\tan xdx$
(10) $y=\csc x$

${y}'=-\csc x\cot x$ ， $d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$
(11) $y=\arcsin x$

${y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ ， $d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$
(12) $y=\arccos x$

${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ ， $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(13) $y=\arctan x$

${y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ ， $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$

${y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ ， $d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$
(15) $y=shx$

${y}'=chx$ ， $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

${y}'=shx$ ， $d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设 $y=f(x)$ 在点 $x$ 的某邻域内单调连续，在点 $x$ 处可导且 ${f}'(x)\ne 0$ ，则其反函数在点 $x$ 所对应的 $y$ 处可导，并且有 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
(2) 复合函数的运算法则:若 $\mu =\varphi (x)$ 在点 $x$ 可导,而 $y=f(\mu )$ 在对应点 $\mu$ ( $\mu =\varphi (x)$ )可导,则复合函数 $y=f(\varphi (x))$ 在点 $x$ 可导,且 ${y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$
(3) 隐函数导数 $\frac{dy}{dx}$ 的求法一般有三种方法：
1)方程两边对 $x$ 求导，要记住 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $y$ 的函数是 $x$ 的复合函数。

例如 $\frac{1}{y}$ ， ${{y}^{2}}$ ， $ln y$ ， ${{{e}}^{y}}$ 等均是 $x$ 的复合函数。
对 $x$ 求导应按复合函数连锁法则做。
2)公式法：由 $F(x,y)=0$ 知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}$ ,其中， ${{{F}'}_{x}}(x,y)$ ， ${{{F}'}_{y}}(x,y)$ 分别表示 $F(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数
3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1） $({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$
（2） $(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$
（3） $(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$
（4） $({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$
（5） $(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$
（6）莱布尼兹公式：若 $u(x)\,,v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则
${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$ ，其中 ${{u}^{({0})}}=u$ ， ${{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理，，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)函数 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有：

$f(x)\le f({{x}_{0}})$ 或 $f(x)\ge f({{x}_{0}})$ ,

(2) $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处可导,则有 ${f}'({{x}_{0}})=0$

Th2:(罗尔定理)

设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续；

(2)在 $(a,b)$ 内可导；

(3) $f(a)=f(b)$

则在 $(a,b)$ 内存在一个 $\xi$ ，使 ${f}'(\xi )=0$

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在 $[a,b]$ 上连续；

(2)在 $(a,b)$ 内可导；

则在 $(a,b)$ 内存在一个 $\xi$ ，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

设函数 $f(x)$ ， $g(x)$ 满足条件：
(1) 在 $[a,b]$ 上连续；

(2) 在 $(a,b)$ 内可导且 ${f}'(x)$ ， ${g}'(x)$ 均存在，且 ${g}'(x)\ne 0$

则在 $(a,b)$ 内存在一个 $\xi$ ，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$

10.洛必达法则
法则Ⅰ ( $\frac{0}{0}$ 型)
设函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件：
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$ ;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的邻域内可导，(在 ${{x}_{0}}$ 处可除外)且 ${g}'\left( x \right)\ne 0$ ;

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。

则:
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 。
法则 ${{\text I}'}$ ( $\frac{0}{0}$ 型)

设函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件：
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$ ;

存在一个 $X>0$ ,当 $\left| x \right|>X$ 时, $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 可导,且 ${g}'\left( x \right)\ne 0$ ;

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。

设函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件：
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty$ ; $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的邻域内可导(在 ${{x}_{0}}$ 处可除外)且 ${g}'\left( x \right)\ne 0$ ; $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。

则： $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 。同理法则 ${\text I{\text I}'}$ ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型)仿法则 ${{\text I}'}$ 可写出。

11.泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在点 ${{x}_{0}}$ 处的某邻域内具有 $n+1$ 阶导数，则对该邻域内异于 ${{x}_{0}}$ 的任意点 $x$ ，在 ${{x}_{0}}$ 与 $x$ 之间至少存在一个 $\xi$ ，使得： $f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots$ $+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$

其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}$ 称为 $f(x)$ 在点 ${{x}_{0}}$ 处的 $n$ 阶泰勒余项。

令 ${{x}_{0}}=0$ ，则 $n$ 阶泰勒公式： $f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$ ……(1)
其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$ ， $\xi$ 在0与 $x$ 之间，(1)式称为麦克劳林公式。

常用五种函数在 ${{x}_{0}}=0$ 处的泰勒公式

(1) ${{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}$

或 $=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}$

或 $=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$ $aa$

(5) $a$ ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}$

或 ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12.函数单调性的判断

Th1: 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 区间内可导，如果对 $\forall x\in (a,b)$ ，都有 $f\,'(x)>0$ （或 $f\,'(x)<0$ ），

则函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是单调增加的（或单调减少）。

Th2: （取极值的必要条件）设函数 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处可导，且在 ${{x}_{0}}$ 处取极值，

则 $f\,'({{x}_{0}})=0$ 。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的某一邻域内可微，且 $f\,'({{x}_{0}})=0$ （或 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处连续，但 $f\,'({{x}_{0}})$ 不存在。）
(1) 若当 $x$ 经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f\,'(x)$ 由“+”变“-”，则 $f({{x}_{0}})$ 为极大值；
(2) 若当 $x$ 经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f\,'(x)$ 由“-”变“+”，则 $f({{x}_{0}})$ 为极小值；
(3) 若 $f\,'(x)$ 经过 $x={{x}_{0}}$ 的两侧不变号，则 $f({{x}_{0}})$ 不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处有 $f''(x)\ne 0$ ，且 $f\,'({{x}_{0}})=0$ ，则:

当 $f'\,'({{x}_{0}})<0$ 时， $f({{x}_{0}})$ 为极大值；
当 $f'\,'({{x}_{0}})>0$ 时， $f({{x}_{0}})$ 为极小值。
注：如果 $f'\,'({{x}_{0}})<0$ ，此方法失效。

13.渐近线的求法
(1)水平渐近线

若 $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$ ，或 $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$ ，则

$y=b$ 称为函数 $y=f(x)$ 的水平渐近线。

(2)铅直渐近线

若 $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$ ，或 $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$ ，则

$x={{x}_{0}}$ 称为 $y=f(x)$ 的铅直渐近线。

(3)斜渐近线

若 $a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$ ，则
$y=ax+b$ 称为 $y=f(x)$ 的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上 $f''(x)<0$ （或 $f''(x)>0$ ），则 $f(x)$ 在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在 ${{x}_{0}}$ 处 $f''(x)=0$ ，（或 $f''(x)$ 不存在），当 $x$ 变动经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f''(x)$ 变号，则 $({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 点的某邻域内有三阶导数，且 $f''(x)=0$ ， $f'''(x)\ne 0$ ，则 $({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx$

16.曲率

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的曲率 $k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}$ 。
对于参数方程 $\left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,$ $k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$ 。

17.曲率半径

曲线在点 $M$ 处的曲率 $k(k\ne 0)$ 与曲线在点 $M$ 处的曲率半径 $\rho$ 有如下关系： $\rho =\frac{1}{k}$ 。

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36311622

机器学习的数学基础-（一、高等数学）（转）

一、高等数学

猜你喜欢