博弈论——威佐夫博弈

威佐夫博弈（Wythoff Game）：
有两堆各若干个石头，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的石头，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

我们假设两堆石头的状态为 $(a,b)$，表示第一堆剩下$a$个石子，第二堆剩下$b$个石子。当然这两堆是没有差别的，第一堆a个第二堆b个和第一堆b个第二堆a个是没有区别的。再假设两个人为$A$和$B$，$A$先取。

我们试想一下：如果A遇到两堆石头的状态为(0,0)是不是就代表着输了？我们称这种状态为奇异状态，也叫失败态。接下来的失败态为(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)……也就是说谁遇到这个状态谁就意味着失败。
为什么称这些状态为失败态呢？？比如(1,2)这一状态，A如果遇到此状态，它有三种取法：
(1).取第一堆一个石子或第二堆两个石子，则状态变为(0,2)或(1,0)，那么B直接取第二堆两个石子或第一堆一个石子，取完状态变为(0,0)，则A输。
(2).取第二堆一个石子，则状态变为(1,1)，那么B同时从两堆中取一个石子，取完状态变为(0,0)，则A输。
(3).同时从两堆中取一个，则状态变为(0,1)，那么B从第二堆取一个，取完状态变为(0,0)，则A输。
所以A遇到(1,2)，最后一定会转变为A遇到(0,0)，同理其他奇异态都是如此。

我们用 $a[i]$ 表示失败态中的第一堆的个数，用 $b[i]$ 来表示失败态中的第二堆的个数，可以发现如下规律$b[i] = a[i] + i$（i从0开始），并且 $a[i]$ 是前面的失败态中没有出现过的最小整数。

所有综上所述，失败态有三个基本的结论：

• 每个数字只存在一个失败态中

• 每个失败态都能转变为非失败态

• 每个非失败态也能转变为失败态

因为每个数都一定出现在一个失败态中，所以一个状态$(a,b)$，要么$a=a[i]$，要么$b=b[i]$。所以分以下两种情况进行讨论：
(1).当$a = a[i]$。
如果$b == a$时，则一次取完变为(0,0)；如果$b>b[i]$，那么从第二堆取走$b-b[i]$个石子，状态就变成了$(a[i], b[i])$。比如(3,7)，从第二堆取走2个石子，就变成了(3,5)；如果$b < b[i]$，那么从两堆中同时取走 $a-a[b-a[i]]$ 个石子就变成了 $(a[b-a[i]], b-a[i]+a[b-a[i]])$。比如(3,4)，同时从两堆中取走2个石子就变成(1,2)。

(2).当$b = b[i]$。
如果 $a>a[i]$，那么从第一堆取走 $a - a[i]$个石子，状态变为 $(a[i], b[i])$；如果 $a<a[i]$，又分为两种情况：1).$a == a[k](k<i)$，那么就从第二堆中取走 $b-b[k]$个石子，状态就变成了 $(a[k], b[k])$；2). $a == b[k]$，这样只需从第二堆取走 $b-a[k]$个石子，状态就变成了$(b[k], a[k])$，然而两堆没有什么区别，所以等价于 $(a[k], b[k])$。

如何判断一个状态是否为失败态呢？知道这个我们就知道谁一定会输了，因为只要判断一个状态为失败态，先取的人一定会输。
用下面的公式进行判断：
$a[i] = ⌊i*(1+\sqrt{5})/2⌋；$ $b[i] = a[i] + i；$

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<algorithm> 
using namespace std;

int main()
{
    int a,b;
    int k;
    while(scanf("%d%d", &a, &b)!=EOF)
    {
        if(a > b)   swap(a, b);
        k = floor((b-a)*(1+sqrt(5.0))/2.0);
        if(k == a) printf("Lose\n");//为奇异状态
        else printf("Win\n");
    }       
    return 0;
}