博弈论有好多好多好多…
整理一下我来写关于巴什博弈,威佐夫博弈+nim游戏
首先先写一些名词：
必败态：即奇异局势，面对这种局势必败。
必胜态：通过合理操作可以变成必胜局。
1.巴什博弈
题面：Alice 和 Bob 玩取石子游戏。他们的游戏是这样的:总共有 n 个石头,每个人每次可以取 1 到 m 个石头,不能不取。最后取完的人获胜。现在Alice 先取,假设双方都采取最好的策略,告诉你 n 和 m,问他是否能赢,如果能,第一次要取几个。
这道题应该算最早接触的博弈，在小学数学课本上的玩意儿。
这题其实就是判断n是否为(m+1)的
如果先手取1，那么后手可以取m.
如果先手取2，那么后手可以取m-1.
如果先手取3，那么后手可以取m-2.
…
如果先手取m，那么后手可以取1.
这一样，无论先手取什么，后手都可以将其维护为m+1
很明显，如果n为(m+1)的倍数，那么先手必败。
若不是倍数，则先手可以先取n%(m+1)个，这样，剩下来的石子就为(m+1)的倍数，那么后手无论取几，先手都可以维护为(m+1)个，那么先手必胜。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,m;
int main()
{
cin>>n>>m;
if(n%(m+1)==0)
cout<<"No";
if(n%(m+1)!=0)
cout<<"Yes"<<endl<<n%(m+1);
return 0;
}
2.威佐夫博弈
先放上题面：
Alice和Bob玩取石子游戏。他们的游戏是这样的:有两堆数量为 a 和 b 的石头。游戏开始两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两 堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到 Alice 先取,假设双方都采取最好的策略,问最后 Alice 是胜者还是败者。
设b>a
设k=b-a,t=(1+(5的平方根))
if([kt]==a)先手败*
else 后手败
状态(奇异局势)(0,0)(1,2)(3,5)(4,7)(6,10)(8,13)(9,15)(11,18)(12,20)…都是先手败
差分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8…
因此判断a,b的差是否符合上面奇异局势即可
对于奇异局势,有如下公式:
a[i]=[i*(1+√5)/2],b[i]=a[i]+i。(k=0,1,2…，[]表示取整)
其中,可以判断i为a,b的差,即是k
那判断[k*(1+sqrt(5))/2)]是否为a即可
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{ int a,b,t,k;
while(cin>>a>>b)
{ if(a>b){t=a;a=b;b=t;}
int k=b-a;
if(int(k*(1+sqrt(5))/2)==a)printf("0\n");
else printf("1\n");
}
return 0;
}
3.nim游戏
写这题前先放上异或性质：
1^1=0
0^0=0
1^0=1
A^0=A
A^A=0
A^B^A=A^A^B=0^B=B
丢上题面
甲，乙两个人玩Nim取石子游戏。
nim游戏的规则是这样的：地上有n堆石子（每堆石子数量小于10000），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这n堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。
这题好神奇的。
设这些堆分别为:a1,a2,a3…an
若a1a2a3…an-1^an==0则先手败
否则先手胜。
证明一下叭：
首先，若所有都为0，那么000…^0=0
否则：
这些堆当中设所有的异或和为k。设k的最高位为i，那么一定有个数第i位是1，而假设这就是a1。再设除了a1其他的异或和为x,则：a1^x=k。且x没有第i位。
然后把a1^k。
这时,a1kx=a1xk=k^k=0
若这时k=0,那么怎么变动都不可能异或和为0了。
pia上代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int T,n,x;
int main()
{ scanf("%d",&T);
while(T--)
{ int ans=0;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{ scanf("%d",&x);
ans^=x;
}
if(!ans)printf("No\n");
else printf("Yes\n");
}
return 0;
}
阶梯nim
送上题面先：
有n个位置1…n，每个位置上有ai个石子。有两个人轮流操作。操作步骤是：挑选1…n中任一一个存在石子的位置i，将至少1个石子移动至i−1位置（也就是最后所有石子都堆在在0这个位置）。谁不能操作谁输。求先手必胜还是必败。
其实这个结果只跟奇数阶梯上的石子有关。
如果先手把偶数阶梯的若干石子往下移，那么后手也会相应把这堆石子继续往下移，直到0，然鹅这样并不会改变什么，只会改变石子的数量。
如果先手吧奇数阶梯的若干石子往下移，那么当这堆石子到0的位置时，变成之前的后手先移其他的了。
所以，这题只要把奇数阶梯上的石子走一遍nim即可。
//当然洛谷也有我的博客嘻嘻嘻
//附：https://www.luogu.org/blog/wicker/bo-yi-lun-ba-shi-wei-zuo-fu-nim-you-hu