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借鉴了大佬的资料：
博弈论.
一、巴什博弈(Bash Game)
引例，最古老的一个游戏：
A和B一块报数，每人每次报最少1个，最多报4个，看谁先报到30(第30个数)。
分析
第一次报数，A报出数的个数是 x ，那么 B报数 5-x 个，接着现在问题变成了下面这个样子：
A 和 B 一块报数，看谁先报到第25个
然后问题逐渐简化，规模缩小：20、15、10、5。最后问题是看谁先报到 5，这时无论 A 怎么报数，最后一个数一定是 B 报出来的，所以 B 必胜。从这里的分析可以得到：
作为后手的 B 在这次游戏中是不会输的。
归纳
如果我们要报 n 个数，每次最少报 1 个，最多报 m 个，可以找出这么一个整数 k 和 r ，使得 n = k * (m+1) + r，代入引例中可知，如果 r = 0 ，那么先手必败，否则，先手必胜（这里我还不太会证明。。。）。
巴什博弈(一般化)
问题描述
只有一堆 n 个物品，两个人轮流从中取物，规定每次最少取 1 个，最多取 m 个，最后取光者为胜
代码示例
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n, m;
while (cin >> n >> m)
{
if (n % (m + 1) == 0)
{
cout << "后手必胜" << endl;//先手必败
}
else
{
cout << "先手必胜" << endl;
}
}
return 0;
}
二、威佐夫博弈(Wythoff Game)
问题描述
有两堆各若干的物品，两人轮流从其中一堆取至少 1 件物品，至多不限，或从两堆中同时取相同件物品，规定最后取完者胜利。
解题结论
若两堆物品数量的初始值是 (x, y)，且 x < y，则令 z = y - x；
设 *w=（int）[（（sqrt（5）+1）/2）z ]；
(下图是人话)
若 w = x，先手必败，否则后手必败；
代码示例
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main()
{
int n1, n2, temp;
while (cin >> n1 >> n2)
{
if (n1 > n2) //保证 n1 <= n2
{
swap(n1, n2);
}
temp = floor((n2 - n1) * (sqrt(5.0) + 1) / 2.0);
if (temp == n1)
{
cout << "后手必胜" << endl;
}
else
{
cout << "先手必胜" << endl;
}
}
return 0;
}
三、尼姆博弈 (Nimm Game)
问题描述
有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，两个人轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取 1 件，取到最后一件物品的人获胜。
解题结论
把每堆物品数全部异或起来，如果得到的值为 0 ，那么先手必败(后手必胜)，否则先手必胜。
代码示例
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int main()
{
int i, n, ans, temp;
// n 堆物品
while (cin >> n)
{
temp = 0;
for ( i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> ans;
temp ^= ans; //我们把每一堆的物品数给异或起来
}
if (temp == 0)
{
cout << "后手必胜" << endl;
}
else
{
cout << "先手必胜" << endl;
}
}
return 0;
}
四、斐波那契博弈
问题描述
有一堆物品，两人轮流取物品，先手最少取一个，至多无上限，但是不能把物品取完，之后每次取得物品数不能超过上一次取的物品数的 2 倍且至少为 1 件，取走最后 1 件物品的人获胜。
解题结论
当且仅当 n 是斐波那契数(n 为物品总数)时，先手必败。
代码示例
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
#define N 55
int f[N] = {}; //斐波那契数列
void Init();
int main()
{
bool flag = false; // true : 先手必败，flase : 后手必败
int n, i;
Init();
while (cin >> n)
{
if (n == 0)//不用玩了
{
break;
}
flag = false;
for ( i = 0; i < N; i++) //判断是否是斐波那契数，只好一个一个试
{
if (n == f[i])
{
flag = true;//先手必败
break;
}
}
if (flag)
{
cout << "后手必胜" << endl;
}
else
{
cout << "先手必胜" << endl;
}
}
return 0;
}
void Init()
{
int i;
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for ( i = 2; i < N; i++)
{
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
}
总结
可以注意到以上所有博弈问题
1、获胜条件都是取到最后一件物品；
2、如果结果满足对应条件，先手必败；