威佐夫博弈--基础

一、威佐夫博弈(Wythoff's game

有两堆各若干个物品,两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

奇异局势:有两个人A和B,假如A是先手,目前两堆石子的剩余个数为a和b(a<b),假如A面对(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),....这些局势时 A必败,这样的局势就叫奇异局势。自己可以验证一下。

奇异局势满足:floor((b-a)*(sqrt(5)+1)/2 )= a

黄金分割率是 0.618,威佐夫博弈是 1.618 ,a和b近似黄金矩形。

二、题型

1----判断局面先手是否能赢

N和M两堆石子(N>M),floor((N-M)*(sqrt(5)+1)/2)!=M则先手A赢,否则B赢。

nyoj 161

2----给出差值n,输出从0-n的奇异局面;或是给出n,输出除了(0,0)外,前n个奇异局面。
3----先手如果赢则输出第一次的取石子方案

1. 先判断局面  

根据定理:N和M两堆石子(N>M),floor((N-M)*(sqrt(5)+1)/2)!=M则先手A赢,否则B赢。

2. A为先手

A 胜输出第一次的取石子方案有两种情况:

(a) 从两堆石子中去相同数量的石子,所以(N-M)的差值不变,直接输出差值为(N-M)的奇异局势,就是A取完之后的情况。

(b) 从任意一堆取石子,这样差值就不唯一了,奇异局势也不固定;枚举差值从0——N,看给B的局面,如果是奇异局势证明可以输出,A稳赢,B面对的是奇异局势怎么取都一定输。


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