leetcode-62-不同路径（动态规划）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

思路：采用动态规划解题，由于机器人只能往下，或者往右走。所以对于除了第一行第一列上的任意格子(i,j),它的上一个格子只能是（i,j-1）或者(i-1,j)。用dp[i][j] 表示到达任意格子（i,j）的方法数 ，那么：

1. 对于第一行第一列上的点，只有一种方法可以到达，比如，第一行上的格子只能从起点一直往右走；
2. 其余任意点(i,j)，都很容易得出状态转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

于是：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[100][100];
        //用dp[i][j]的值代表从起点开始，能够到达该格子（i,j）的方法数（或者路径数）
        //初始化边界条件，令第一行第一列的值全为1，因为要到达第一行第一列上的任意一个格子
        //的方法只有一种，比如，要到达第一行的的任意格子，只能一直往右走；要到达第一列上的格子只能一直往下走
        for(int i=0;i<=m-1;++i)
            dp[i][0]=1;  
        for(int j=0;j<=n-1;++j)
            dp[0][j]=1;
        //由于机器人只能 往下或者往右走，所以，状态转移方程如下
        for(int i=1;i<=m-1;++i)
            for(int j=1;j<=n-1;++j)
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        return dp[m-1][n-1];   
    }
};