62 不同路径 medium
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
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输入：m = 3, n = 7 输出：28
经典的动态规划题目，强化学习入门的一个环境与此题相同。
还是五部曲：
1 - 确定dp数组：这道题与此前的不同，此前是一维的，这道题则是二维。先用二维的思路解决。
那么dp[i] [j]就表示机器人移动到第 i 行，第 j 列时，路径的数量。
2 - 确定递推公式：由于机器人只能向下或者向右移动，那么移动到第 i 行，第 j 列，就只有两种可能，一是从第 i - 1 行，第 j 列而来（向下移动），二是第 i 行，第 j - 1 列而来（向右移动）。那么dp[i] [j] = dp[i - 1] [j] + dp[i] [j - 1].
3 - 初始化dp数组：这道题初始化这一步，有点儿不同，此前一维的时候顶多是前两个值，而二维的时候通常要考虑首行和首列的初始值。假设机器人一直向右或者向下走，路径只有一条，是不会有第二条路径的，所以要把首行和首列的值都初始化为1.
4 - 递推顺序：这道题要从上往下，从左往右遍历，为什么？因为“机器人只能向右或者向下走”，说明机器人只能来自于当前位置的上方，或是下方。
5 - 举例：略
根据以上思想，本题代码如下：
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m; ++i) dp[i][0] = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i) dp[0][i] = 1;
for (int i = 1; i < m; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
之所以这道题也可以用一维数组求解，也很好理解，上述代码中，在二重循环内部，更新dp数组的时候 i 的值并没有变，即行数没变，所以我们只用一个数组就可以表示，如果要说有什么意义的话，那就是移动到第j列的时候，一共有多少种路径。根据这个思路，代码如下：
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<int> dp(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) dp[i] = 1;
for (int j = 1; j < m; ++j) {
for (int i = 1; i < n; ++i) {
dp[i] += dp[i - 1];
}
}
return dp[n - 1];
}
最后，上面的思路都是先考虑行数，其实先考虑列也是一样的，相当于把m和n的值交换了一下嘛
63 不同路径II medium
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
还是从五部曲入手：
1 - 确定dp[i] [j]数组：和上一题一样
2 - 递推公式：这道题中有障碍物，那么就要根据障碍物来计算递推公式。分为两种情况，第i 行第j 列存在障碍物和不存在障碍物。如果存在，就应该跳过，因为没有道路可以通向该点；但如果不存在，那么还是和上一题一样。
3 - 初始化dp数组：不同之处在于，遇到障碍就应该停止初始化。
4 - 遍历顺序：从上到下，从左到右
5 - 举例：省略
根据以上思路，代码如下：
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; ++i)
dp[i][0] = 1;
for (int i = 0; i < n && obstacleGrid[0][i] == 0; ++i)
dp[0][i] = 1;
for (int i = 1; i < m; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
与上一题相同的是，这道题在遍历的时候，i的值同样没有变，所以还是可以考虑用一维数组滚动表示二维数组，此处直接借鉴随想录中给出的代码：
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
if (obstacleGrid[0][0] == 1)
return 0;
vector<int> dp(obstacleGrid[0].size());
for (int j = 0; j < dp.size(); ++j)
if (obstacleGrid[0][j] == 1)
dp[j] = 0;
else if (j == 0)
dp[j] = 1;
else
dp[j] = dp[j-1];
for (int i = 1; i < obstacleGrid.size(); ++i)
for (int j = 0; j < dp.size(); ++j){
if (obstacleGrid[i][j] == 1)
dp[j] = 0;
else if (j != 0)
dp[j] = dp[j] + dp[j-1];
}
return dp.back();
}