【leetcode-动态规划】 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

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解法一：利用动态规划， 构造一个dp[m][n]的矩阵，记录走到i,j位置时的走法， 则i=0或j=0时，即在第0行或第0列上，每个格只有一种走法。 其他情况dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

class Solution {
     public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        
        for(int i=0;i<m;i++) {
            for(int j=0;j<n;j++) {
                if(i==0||j==0) {
                    
                        dp[i][j]=1;
                   
                    
                }else {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        
        return dp[m-1][n-1];
    }
}

解法二：上面的解法需要m*n的空间，是一行一行求解的,实际上我们只需要记录遍历到(i, j)这个位置的时候当前行有几种路径,如果遍历到(i, m-1)的时候,替换掉这一行对应列的路径即可，于是状态转移方程编程:
res[j] = res[j] + res[j-1]

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m <= 0 || n <= 0) {
            return 0;
        }
        int[] res = new int[n];
        res[0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                res[j] += res[j - 1];
                System.out.println("i=" + i + "_" + "j=" + j + ":" + Arrays.toString(res));
            }
        }
        return res[n - 1];
    }
}