LeetCode 第 62 题：不同路径（动态规划）

地址：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

方法一：动态规划

• 状态：dp[i][j] 表示走到坐标 (i, j) 的路径总数；

• 状态转移方程：思路依然是分类讨论，走到坐标 (i, j) 可以从上方下来，也可以从左边过来，路径总数是二者之和；

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

• 初始化：数组 dp 的第 1 行和第 1 列都得显示赋值为 1；

• 输出：dp[m - 1][n - 1]。

• 状态压缩：可以滚动数组，也可以只压缩到一维。

Java 代码：

import java.util.Arrays;

public class Solution {

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        Arrays.fill(dp[0], 1);

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

初始化的时候比较麻烦，因此可以考虑“哨兵”写法，将数组 dp 多写一行，多写一列。

Java 代码：

import java.util.Arrays;

public class Solution {

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        // 初始化的时候 dp[0][1] = 1; 或者 dp[1][0] = 1; 均可
        dp[1][0] = 1;

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j + 1] + dp[i + 1][j];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

状态压缩。

Java 代码：

public class Solution {

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[j] += dp[j - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

方法二：组合数

使用组合数来求解，走到坐标为 (m, n) 的地方，向下走 m - 1 格，向右边走 n - 1 格。一共走 m + n - 2 格。