动态规划——62. 不同路径

1 题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/unique-paths

2 题目示例

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6

3 题目提示

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

4 思路

我们用f(i,j)表示从左上角走到(i,j)的路径数量，其中i和j的范围分别是[0, m)和[0, n)。
由于我们每一步只能从向下或者向右移动—步，因此要想走到(i,j)，如果向下走一步，那么会从(i-1,j)走过来;如果向右走一步，那么会从(i,j-1)走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程:

需要注意的是，如果i=0，那么f(i - 1,j)并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这―项;同理，如果j=0，那么f(i,j-1)并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这—项。初始条件为f(0,0)= 1，即从左上角走到左上角有—种方法。最终的答案即为f(m - 1,n - 1)。

细节:
为了方便代码编写，我们可以将所有的f(0,j)以及f(i,0)都设置为边界条件，它们的值均为1。

复杂度分析
时间复杂度:O(mn)。
空间复杂度:O(mn)，即为存储所有状态需要的空间。注意到f(i,j)仅与第i行和第i-1行的状态有关，因此我们可以使用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为O(n)。此外，由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换m和n使得m≤ n，这样空间复杂度降低至O(min(m, rn))。

5 我的答案

class Solution {
    
    
    public int uniquePaths(int m, int n) {
    
    
        int[][] f = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
    
    
            f[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
    
    
            f[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
    
    
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
    
    
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}