曲线积分

曲线积分可以分为两类：

1. 对弧长的曲线积分
2. 对坐标的曲线积分

我们分别介绍

对弧长的曲线积分

对弧长曲线积分的现实(物理)含义：弧长 × 物理量 = 对弧长曲线积分值；
举例说明：

• 计算曲型物体质量：弧长 × 线密度 = 曲型物体质量

对弧长曲线积分的定义式：

$$\int_L f(x,y)ds$$ 其中 $f(x,y)$叫做被积函数； $L$叫做积分弧段，即被积分的弧长区域

对弧长的曲线积分的计算法：
将弧$L$转换为参数方程形式：

$$\begin{cases} x = \phi (t) \\ y = \zeta (t) \end{cases},(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$$ 带入定义式可得： $$\int_L f(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f[\phi(t), \zeta(i)]\sqrt{[\phi '(t)]^2 + [\zeta ' (t)]^2}dt$$ 需要注意的是：在对弧长的曲线积分中， 积分下限一定要小于积分上限

对坐标的曲线积分

对坐标曲线积分的现实(物理)含义：弧长 × 矢量 = 对坐标曲线积分值；
举例说明：

• 力沿弧形路径前进所做的功：路径弧长 × 力 = 对坐标积分值

由对坐标曲线积分的物理含义可以看出，因为这个曲线积分是对矢量的积分，通常情况下需要借助坐标系来把矢量分解为$x$、$y$两个方向，所以叫做对坐标的曲线积分。

对坐标曲线积分的定义式：

$$X方向上力做的功: \int_L P(x,y)dx$$ $$Y方向上力做的功: \int_L Q(x,y)dy$$ $$合力做的功:\int_LF(x,y)dr = \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

对坐标曲线积分的计算法：
①将弧$L$转换为参数方程形式：

$$\begin{cases} x = \phi (t) \\ y = \zeta (t) \end{cases},(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)$$ 当参数 $t$单调地由 $\alpha$变到 $\beta$时，力的作用点由起点逐渐变到终点
将参数方程带入定义式可得： $$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_\alpha^\beta \{ P[\phi (t), \zeta (t)]\phi ' (t) + Q[\phi (t), \zeta (t)]\zeta ' (t)\}dt$$

②若给出L的参数方程为$y = \phi(x)$或$x = \zeta(y)$。
例如:
1、当给出$y=\phi(x)$,则有：

$$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_a^b\{ P[x,\phi (x)] + Q[x,\phi(x)]\phi ' (x) \}dx$$ 其中下限 $a$表示 $L$的起点对应的 $x$坐标，上限 $b$表示 $L$的终点对应的 $x$坐标
2、当给出 $x=\phi(y)$,则有： $$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_c^d\{ P[\zeta(y),y]\zeta ' (y) + Q[\zeta(y),y] \}dy$$ 其中下限 $c$表示 $L$的起点对应的 $y$坐标，上限 $d$表示 $L$的终点对应的 $y$坐标

要注意的是：在对坐标的曲线积分中，积分下限对应的是L的起点的x/y坐标，积分上限对应的是L的终点的x/y坐标

两类曲线积分之间的联系

在平面曲线弧L上，两类曲线积分有如下关系：

$$\int_L (P\cos \alpha + Q \cos \beta)ds = \int_LPdx + Qdy$$

$\cos \alpha、\cos \beta$为有向弧L在点$( \phi (t), \zeta (t)),即(x,y)$上的切向量分别对$x、y$方向上的方向余弦