极限重要公式
求极限参考链接：
https://www.sohu.com/a/214347954_507476
关于e的特殊极限
\[\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e\]
\[\lim_{x \to 0} (1+ x)^{\frac{1}{x}} = e\]
关于x的幂指函数的特殊极限
\[\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1\]
\[\lim_{x \to 0^+} x^x = 1\]
\[\lim_{x \to 0^+} x \ln x =0\]
带根号的特殊极限
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1\]
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1\]
泰勒展开
1、\(sin(x)\)
\[sin(x) = x-\frac{1}{6}x^3+O(x)\]
\[ sin(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
2、\(arcsin(x)\)
\[arcsin(x) = x+\frac{1}{6}x^3+O(x)\]
\[ arcsin(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
3、\(tan(x)\)
\[tan(x) = x + \frac{1}{3}x^3+O(x^3)\]
\[ tan(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]
4、（必须要记牢，推导麻烦且易错）\(arctan(x)\)
\[arctan(x) = x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^3)\]
\[ arctan(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]
5、\(cos(x)\)
\[cos(x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + O(x^4)\]
\[ cos(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
6、\(ln(1+x)\)
\[ln(1+x) = x-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^3)\]
\[ ln(1+x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} \]
7、\(e^x\)
\[e^x = 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+O(x^3)\]
\[ e^x = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^n}{n!} \]
8、\((1+x)^{\alpha}\)
\[(1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 +O(x)\]
\[ (1+x)^{\alpha} = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{C^n_{\alpha}}{n!} \cdot x^n \]
9、\(\frac{1}{1-x}\)
\[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + O(x^3)\]
\[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \]
10、\(a^x\)
\[a^x = 1 + x \ln a\]
11、\((1+x)^{\frac{1}{x}}\)
\[(1+x)^{\frac{1}{x}} = e(1-\frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} - \frac{7x^3}{16} \cdots) = e - \frac{x}{2}e + \frac{11x^2}{24}e - \frac{7x^3}{16}e \cdots\]
（易错点）使用等价无穷小和泰勒展开求极限的条件
重点！！
1、做乘除法时，可以
2、做加减法时，只有部分情况可以，检验是否可行的方法：
对于
\[\lim a+ b\]
带入泰勒或者等价无穷小后，看看是否满足\(\frac{a}{b} = \pm 1\)
是则不能带入，否则可以带入；例如：
\[\lim \cos x - 1 = (1-\frac{x^2}{2}) - 1 = -\frac{x^2}{2}\]
因为带入后为\(\frac{1-\frac{x^2}{2}}{-1} \neq \pm1\)
而
\[\lim \sin x - \tan x\]不行，因为带入后为\(\frac{x}{-x} = -1\)
极限计算题分类
函数极限的计算
1、分子为两根式之差
使用平方差公式化简
例如：1000题的1.7 \(\frac{\sqrt{5x-1} - \sqrt{2x+5}}{x^2-4}\)
2、指数函数带有\(\frac{1}{x}\)或带有\(\ln f(x)\)的
简单因式（的倒数）往下放
例如：
1000题的1.9 \(\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x}(1+\frac{1}{x})^{x^2}\)
1.11
3、带有积分的
化成积分分式，用洛必达消去积分
例如：
1000题的1.8
4、三角函数无法带入泰勒展开式计算的
例如：
1000题的1.5
5、使用拉格朗日中值定理
如果在\([a,b]\)(开区间、闭区间都可以)可导、连续，则：
$ \exists \epsilon \in (a,b)$ 使得
\[ f'(\epsilon)(b-a) = f(b) - f(a)\] 或 \[f'(\epsilon) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\]
6、\(1^\infty\)极限的计算
\(x \to \infty ,g(x)^{f(x)}\)即等于\(e^A\)
\[A= f(x)[g(x)-])\]
例如：1.66
无穷小比阶
1、若\(a \neq 0,k>0\)，\(x \to 0\)时\(f(x) \sim ax^k\) \(\Rightarrow\) \(x \to 0\)时，f(x)是x的k阶无穷小
2、若\(k>0\)时，\(\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^k}\) \(\Rightarrow\) \(x \to 0,f(x)\)是\(x\)的\(k\)阶无穷小
3、若\(f(x) = a_0+a_1x+ \cdots a_k x^k \cdots\),其中\(a_0+a_1x+ \cdots a_{k-1}=0\)，但\(a_k \neq 0\),则\(f(x)\)是x的k阶无穷小
4、若\(x \to 0\),\(g(x)\)是x的n阶无穷小,\(f(x)\)是x的m阶无穷小,\[\int^{g(x)}_0 f(t) dt\]是x的\((m+1) \cdot n\)阶无穷小
5、若\(x \to 0\)时\(f(x)\)与\(g(x)\)分别是x的m阶无穷小和n阶无穷小，又\(\lim\limits_{x \to 0} h(x) = a \neq 0\)，则
1）\(f(x) h(x)\)是x的m阶无穷小
\(f(x)g(x)\)是x的\(m+n\)阶无穷小
2）\(m>n\)时，\(f(x)+g(x)\)是x的n阶无穷小
3）\(m=n\)时，\(f(x)+g(x)\)是x的n阶或高于n阶的无穷小
数列极限的计算
1、转化为函数极限来算
然后就可以用洛必达、拉格朗日中值定理
2、先求和或积
3、夹逼准则
1、简单放缩
n个正数之和不超过 n乘以最大值，不小于n乘以最小值
例如：\[\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} \cdots \frac{n}{n^2+n})\]
设原极限为A；
数列中最大值为\(\frac{n}{n^2+1}\)，最小值为\(\frac{n}{n^2+n}\)
\[\frac{n}{n^2+n} \cdot n \leq A \leq \frac{n}{n^2+1} \cdot n\]
\[\Rightarrow \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \leq A \leq \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}\]
\[\Rightarrow A=1\]
有限m个数相加
例如：\[ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n +\cdots a_m^n}, 0 \leq a_i(i = 1,2,3, \cdots m)\]
这种题要注意，要找最大值，大于最大值，小于m个最大值之和
设原数列和为A，其最大值为\(a_1=max(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\)则
\[a_1^n \leq A \leq a_1^n \cdot m\]
\[\Rightarrow a_1 \leq \sqrt[n]{A} \leq a_1 \cdot m^{\frac{1}{n}}\]
\[\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} A = a_1=max(a_1, \cdots ,a_m)\]
重要结论：
形如\[\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n+\cdots a_m^n} = max(a_1,a_2,\cdots,a_m)\]m有限
例1：\[\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{2020 + 2^n+3^n+4^n}=4\]
例2：\[\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n}\](记得分类讨论)
4、单调有界准则
5、数列的构造法
求极限的应用
1、间断点
第一类
可短间断点
\(x = x_0\) 时无定义
跳跃间断点
左右极限不等
第二类
无穷间断点
无极限，且无界
振荡间断点
无极限却有界
2、函数曲线渐近线的求法
垂直渐近线
- 先找无定义点 \(x_0\)
- 求该点的极限\[\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\] 极限存在则，\(x = x_0\) 为垂直渐近线
水平渐近线
求极限 \[\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = A\] \(A\)是否存在
存在则\(y = A\) 为水平渐近线
斜渐近线
若\(y = f(x)\) 满足：
- \[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k\] \(k\) 存在
- \[\lim_{x \to \infty}(f(x) -kx) = b\] \(b\) 存在
则有斜渐近线 \(y = kx + b\)