高等数学 第一章：函数极限与连续 第二节：极限 | 九七的高等数学

高等数学 第一章 函数极限连续：第二节 极限

一、极限的概念

极限的定义：极限到底是个什么东西？从字面意义上理解，极限表示无限趋近于一个固定数值（这是词典里的解释）。在高等数学中，分两方面，一个是数列，一个是函数。高等数学中的极限，表示数列或者函数在某个地方有无限趋近于一个固定数值的特点，这里大家想一想就知道了，我们从没有说过极限函数，我们只说这个函数的极限是多少。极限，本质上就是函数或数列可能拥有的一个属性特征。说可能，是因为有的函数或数列可能没有极限。说到极限的存在，就有一个观念大家需要明白。我们在写题目的时候经常能看到$$\underset{x}{\lim }=\infty$$，这个结果，表明的是x趋向无穷，并不代表极限存在。也就是说，一个趋于无穷的函数或数列，不能说它的极限是无穷，它的极限是不存在的。

二、数列的极限

1.数列的极限的定义

数列的极限的定义：对任意给定的一个数$ϵ$，$ϵ>0$，总存在正整数N，当n>N时，恒有$|x_n-a|<ϵ$，称常数a为数列在n趋向无穷时的极限。

数列极限的几何意义：当我们说一个数列在项数n趋向无穷的时候，数列趋向于一个定值，表明这个数列画出的图像，当项数n在N前面时的数列可能是随意的；但当n>N的时候，无论正数$ϵ$怎么变，这个数列中一定存在某些项的都落在$(a-ϵ,a+ϵ)$之间。

2.数列的极限的性质和定理

数列收敛的定义：如果存在常数A（只有一个），对于任意给定的$ϵ>0$（无论$ϵ$多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有$|x_n-A|<ϵ$成立，就称数列{x_n}收敛于A（也称数列的极限存在并为A，这里和数列极限的定义是一样的），即数列{x_n}为收敛数列。

数列有界的定义：设数列$x_n$的项数集合为$N$，如果存在数K，使得 $|x_n|\le K$对任意$n\in N$都成立，则称数列$x_n$有界。（即它具有有界性）

有界数列的定义：一个数列$x_n$,若它既有上界又有下界,则称之为有界数列

数列的极限的有界性定理：数列收敛是数列有界（即具有有界性）的充分不必要条件。

数列的极限的保号性定理1：满足：（1）$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$$；（2）A>0（或A<0）。则可推出：存在N>0，当n>N时，$x_n$>0（或x_n<0）。

数列的极限的保号性定理2：满足：（1）$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$$；（2）存在N>0，当n>N时，x_n>=0（或x_n<=0）。则可推出A>=0（或A<=0）。

数列的夹逼准则（定理）：满足：（1）存在N，当n>N时，$x_n<=y_n<=z_n$；（2）$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=a$$。则可推出：$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=a$$。

数列的单调有界准则（定理）：满足：数列为单调有界数列（数列单调递增且有上界，或数列单调递减有下界）。则可推出：数列必有极限

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3.有关数列的极限的方法

数列有界的判断方法：因为数列的收敛和极限的存在是等价的，所以我们判断数列是否有界的方法就是看这个数列是否有极限。

三、函数的极限

1.函数的极限的定义

函数的极限的定义：自变量趋于一个值（或者无穷）的时候，函数也趋于这个值（可以是从小于趋向、大于趋向，也可以是上下浮动）。上面是通俗解释，下面的定义都会用数学语言描述。

自变量趋于正无穷时函数的极限的定义：对任意给定的$ϵ>0$，总存在$X>0$，当$x<X时$，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数A为f(x)在x趋向于正无穷时的极限，记作$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$$。

自变量趋于负无穷时函数的极限的定义：对任意给定的$ϵ>0$，总存在$X>0$，当$x<-X$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数A为f(x)在x趋向于负无穷时的极限，记作$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$$。

自变量趋于无穷时函数的极限的定义：对任意给定的$ϵ>0$，总存在$X>0$，当$|x|<X$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数A为f(x)在x趋向于无穷时的极限，记作${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A$。（这里的条件要比上面两个要更加的严格，因为$|x|>X$意味着x在趋于正无穷和负无穷时都要满足$|f(x)-A|<ϵ$，只有一边满足得不到这个结论）

自变量趋于有限值时函数的极限的定义：对任意给定的$ϵ>0$，总存在$\delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数A为函数f(x)在$x\to x_0$时的极限。记作$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$。

左极限的定义：对任意给定的$ϵ>0$，总存在$\delta >0$，当$x_0-\delta <x<x_0$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数A为函数f(x)在$x\to x_0$时的左极限。记作$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$$。

右极限的定义：对任意给定的$ϵ>0$，总存在$\delta >0$，当$x_0<x<x_0+\delta$时，恒有$|f(x)-A|<ϵ$，则称常数A为函数f(x)在$x\to x_0$时的右极限。记作$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$$。

2.函数的极限的性质和定理

函数有界的定义：设函数$f(x)$的定义域为$D$，$f(x)$在集合$D$上有定义。 如果存在数K，使得 $f(x)\le K$对任意$x\in D$都成立，则称函数$f(x)在D$内有界。

函数的有界性定理：极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$存在是$f(x)$在$x_0$某去心领域有界（局部有界）的充分不必要条件。

函数的保号性定理1：满足：（1）$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$；（2）A>0（或者A<0）。则可推出：存在$\delta >0$，当$$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$$时，f(x)>0(或f(x)<0)。

函数的保号性定理2：满足：（1）$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$；（2）存在$\delta >0$，当$$x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$$时，f(x)>=0(或f(x)<=0)。则可推出：A>=0(或A<=0)。

自变量趋于无穷大时函数极限的定理：极限$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$$存在的充分必要条件是这两个极限$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$$、$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$$都存在且相等。

自变量趋于有限值时函数极限的定理：极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$存在的充分必要条件是左极限$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$$与右极限$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$$存在且相等。

四、无穷小量

1.无穷小量的概念

无穷小量的定义：当函数的自变量趋向定值或者无穷的时候，函数值（因变量）趋向于0，则称函数为自变量趋向定值或者无穷时的无穷小量。

2.无穷小量的比较

无穷小量比较的前提：$$\lim \alpha (x)=0$$，$$\lim \beta (x)=0$$，且$$\beta(x)\not=0)。

高阶：如果$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$$，我们说$\alpha (x)$是比$\beta (x)$高阶的无穷小，记作$\alpha (x)=o(\beta (x)$。

低阶：如果$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$$，我们说$\alpha (x)$是比$\beta (x)$低阶的无穷小。

同阶：如果$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C\ne 0$$，我们说$\alpha (x)$和$\beta (x)$是同阶的。

K阶：如果$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x{)}^k}=C\ne 0$$，我们说$\alpha (x)$是$\beta (x)$的k阶无穷小。（就好比10是5的两倍，这样理解会容易一些，但是区别在于找个阶不是倍数了，而是趋于0的快慢了。）

等价：如果$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$$，我们说$\alpha (x)$和$\beta (x)$是等价的无穷小。记作$\alpha (x)\beta (x)$。

3.无穷小的性质

无穷小的性质1：有限个无穷小的和仍然是无穷小。

无穷小的性质2：有限个无穷小的积仍然是无穷小。

无穷小的性质3：无穷小量与有界量的积仍然是无穷小。

五、无穷大量

1.无穷大量的概念

无穷大量的定义：若函数自变量趋于定值或无穷的时候，函数的值（即因变量）趋向于无穷，则称函数为自变量趋于定值或无穷时的无穷大量。用数学语言描述：对任意的给定M>0，总存在$\delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)|>M$，则称$f(x)$为KaTeX parse error: Undefined control sequence: \tox at position 2: x\̲t̲o̲x̲_0时的无穷大量。

2.常用的无穷大量的比较

函数无穷大量的常用比较：当$x\to +\infty$时，{\lnx}^\alpha \leq x^\beta \leq a^x$（$\alpha>0,\beta>0,a>1$）

数列无穷大量的常用比较：当$n\to \infty$时，{\lnn}^\alpha \leq n^\beta \leq a^n \leq n! \leq n^n$（$\alpha>0,\beta>0,a>1$）

3.无穷大量的性质

无穷大量的性质1：两个无穷大量的积仍为无穷大量。

无穷大量的性质2：无穷大量和有界变量之和仍然为无穷大量。

4.无穷大量与无界变量的关系

无穷大量与无界变量的关系：无穷大量必为无界变量，无界变量不一定是无穷大量。

5.无穷大量与无穷小量的关系

定理：如果$f(x)$是无穷大，那么$\frac{1}{f(x)}$是无穷小。

定理：如果$f(x)$是无穷小，且不等于0；那么$\frac{1}{f(x)}$是无穷大。

五、求极限的方法

1.利用基本极限求极限

2.$1^{\infty }$型极限求法

3.利用等价无穷小代换求极限

4.利用有利运算法则求极限

5.利用洛必达法则求极限

6.利用泰勒公式求极限

7.利用夹逼原理求极限

8.利用单调有界准则求极限

提问部分：

1.极限的定义是什么？用数学语言如何描述？
2.极限的相关性质有哪些？
3.数列和函数极限都有哪些定理？
4.数列极限有哪些准则？
5.无穷小量是什么？
6.无穷小的比较是什么？
7.无穷小的性质定理是什么？
8.无穷大量是什么？
9.无穷大有哪些常用的比较形式？
10.无穷大的性质定理有什么？
11.无穷大和无穷小有什么关系？
12.求极限的方法有哪些？

（篇幅较长，作者水平有限，错误在所难免，望海涵、指正）

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