高等数学 第一章:函数极限与连续 第二节:极限 | 九七的高等数学

高等数学 第一章 函数极限连续:第二节 极限

一、极限的概念

极限的定义:极限到底是个什么东西?从字面意义上理解,极限表示无限趋近于一个固定数值(这是词典里的解释)。在高等数学中,分两方面,一个是数列,一个是函数。高等数学中的极限,表示数列或者函数在某个地方有无限趋近于一个固定数值的特点,这里大家想一想就知道了,我们从没有说过极限函数,我们只说这个函数的极限是多少。极限,本质上就是函数或数列可能拥有的一个属性特征。说可能,是因为有的函数或数列可能没有极限。说到极限的存在,就有一个观念大家需要明白。我们在写题目的时候经常能看到 lim ⁡ x = ∞ \lim_ x=\infty xlim=,这个结果,表明的是x趋向无穷,并不代表极限存在。也就是说,一个趋于无穷的函数或数列,不能说它的极限是无穷,它的极限是不存在的。

二、数列的极限

1.数列的极限的定义

数列的极限的定义:对任意给定的一个数 ϵ \epsilon ϵ ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在正整数N,当n>N时,恒有 ∣ x n − a ∣ < ϵ |x_n-a|<\epsilon xna<ϵ,称常数a为数列在n趋向无穷时的极限。

数列极限的几何意义:当我们说一个数列在项数n趋向无穷的时候,数列趋向于一个定值,表明这个数列画出的图像,当项数n在N前面时的数列可能是随意的;但当n>N的时候,无论正数 ϵ \epsilon ϵ怎么变,这个数列中一定存在某些项的都落在 ( a − ϵ , a + ϵ ) (a-\epsilon,a+\epsilon) (aϵ,a+ϵ)之间。

2.数列的极限的性质和定理

数列收敛的定义:如果存在常数A(只有一个),对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0(无论 ϵ \epsilon ϵ多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有 ∣ x n − A ∣ < ϵ |x_n-A|<\epsilon xnA<ϵ成立,就称数列{x_n}收敛于A(也称数列的极限存在并为A,这里和数列极限的定义是一样的),即数列{x_n}为收敛数列。

数列有界的定义:设数列 x n {x_n} xn的项数集合为 N N N,如果存在数K,使得 ∣ x n ∣ ≤ K |x_n|≤K xnK对任意 n ∈ N n∈N nN都成立,则称数列 x n {x_n} xn有界。(即它具有有界性)

有界数列的定义:一个数列 x n {x_n} xn,若它既有上界又有下界,则称之为有界数列

数列的极限的有界性定理:数列收敛是数列有界(即具有有界性)的充分不必要条件。

数列的极限的保号性定理1:满足:(1) lim ⁡ n → ∞ x n = A \lim_{n \to \infty} x_n=A nlimxn=A;(2)A>0(或A<0)。则可推出:存在N>0,当n>N时, x n x_n xn>0(或x_n<0)。

数列的极限的保号性定理2:满足:(1) lim ⁡ n → ∞ x n = A \lim_{n \to \infty} x_n=A nlimxn=A;(2)存在N>0,当n>N时,x_n>=0(或x_n<=0)。则可推出A>=0(或A<=0)。

数列的夹逼准则(定理):满足:(1)存在N,当n>N时, x n < = y n < = z n x_n<=y_n<=z_n xn<=yn<=zn;(2) lim ⁡ n → ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ z n = a \lim_{n \to \infty} x_n=\lim_{n \to \infty} z_n=a nlimxn=nlimzn=a。则可推出: lim ⁡ n → ∞ y n = a \lim_{n \to \infty} y_n=a nlimyn=a

数列的单调有界准则(定理):满足:数列为单调有界数列(数列单调递增且有上界,或数列单调递减有下界)。则可推出:数列必有极限

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3.有关数列的极限的方法

数列有界的判断方法:因为数列的收敛和极限的存在是等价的,所以我们判断数列是否有界的方法就是看这个数列是否有极限。

三、函数的极限

1.函数的极限的定义

函数的极限的定义:自变量趋于一个值(或者无穷)的时候,函数也趋于这个值(可以是从小于趋向、大于趋向,也可以是上下浮动)。上面是通俗解释,下面的定义都会用数学语言描述。

自变量趋于正无穷时函数的极限的定义:对任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在 X > 0 X>0 X>0,当 x < X 时 x<X时 x<X,恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon f(x)A<ϵ,则称常数A为f(x)在x趋向于正无穷时的极限,记作 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = A \lim_{x \to +\infty} f(x)=A x+limf(x)=A

自变量趋于负无穷时函数的极限的定义:对任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在 X > 0 X>0 X>0,当 x < − X x<-X x<X时,恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon f(x)A<ϵ,则称常数A为f(x)在x趋向于负无穷时的极限,记作 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) = A \lim_{x \to -\infty} f(x)=A xlimf(x)=A

自变量趋于无穷时函数的极限的定义:对任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在 X > 0 X>0 X>0,当 ∣ x ∣ < X |x|<X x<X时,恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon f(x)A<ϵ,则称常数A为f(x)在x趋向于无穷时的极限,记作 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A \lim_{x \to \infty} f(x)=A limxf(x)=A。(这里的条件要比上面两个要更加的严格,因为 ∣ x ∣ > X |x|>X x>X意味着x在趋于正无穷和负无穷时都要满足 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon f(x)A<ϵ,只有一边满足得不到这个结论)

自变量趋于有限值时函数的极限的定义:对任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<xx0<δ时,恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon f(x)A<ϵ,则称常数A为函数f(x)在 x → x 0 x \to x_0 xx0时的极限。记作 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x \to x_0} f(x)=A xx0limf(x)=A

左极限的定义:对任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 x 0 − δ < x < x 0 x_0-\delta<x<x_0 x0δ<x<x0时,恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon f(x)A<ϵ,则称常数A为函数f(x)在 x → x 0 x \to x_0 xx0时的左极限。记作 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = A \lim_{x \to x_0^-} f(x)=A xx0limf(x)=A

右极限的定义:对任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0,总存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 x 0 < x < x 0 + δ x_0<x<x_0+\delta x0<x<x0+δ时,恒有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ |f(x)-A|<\epsilon f(x)A<ϵ,则称常数A为函数f(x)在 x → x 0 x \to x_0 xx0时的右极限。记作 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A \lim_{x \to x_0^+} f(x)=A xx0+limf(x)=A

2.函数的极限的性质和定理

函数有界的定义:设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D f ( x ) f(x) f(x)在集合 D D D上有定义。 如果存在数K,使得 f ( x ) ≤ K f(x)≤K f(x)K对任意 x ∈ D x∈D xD都成立,则称函数 f ( x ) 在 D f(x)在D f(x)D内有界。

函数的有界性定理:极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{x \to x_0} f(x) xx0limf(x)存在是 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0某去心领域有界(局部有界)的充分不必要条件。

函数的保号性定理1:满足:(1) lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x \to x_0} f(x)=A xx0limf(x)=A;(2)A>0(或者A<0)。则可推出:存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 x ∈ U ˚ ( x 0 , δ ) x \in \mathring{U}(x_0,\delta) xU˚(x0,δ)时,f(x)>0(或f(x)<0)。

函数的保号性定理2:满足:(1) lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x \to x_0} f(x)=A xx0limf(x)=A;(2)存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 x ∈ U ˚ ( x 0 , δ ) x \in \mathring{U}(x_0,\delta) xU˚(x0,δ)时,f(x)>=0(或f(x)<=0)。则可推出:A>=0(或A<=0)。

自变量趋于无穷大时函数极限的定理:极限 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) \lim_{x \to \infty} f(x) xlimf(x)存在的充分必要条件是这两个极限 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) \lim_{x \to +\infty} f(x) x+limf(x) lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) \lim_{x \to -\infty} f(x) xlimf(x)都存在且相等。

自变量趋于有限值时函数极限的定理:极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x \to x_0} f(x)=A xx0limf(x)=A存在的充分必要条件是左极限 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = A \lim_{x \to x_0^-} f(x)=A xx0limf(x)=A与右极限 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A \lim_{x \to x_0^+} f(x)=A xx0+limf(x)=A存在且相等。

四、无穷小量

1.无穷小量的概念

无穷小量的定义:当函数的自变量趋向定值或者无穷的时候,函数值(因变量)趋向于0,则称函数为自变量趋向定值或者无穷时的无穷小量。

2.无穷小量的比较

无穷小量比较的前提: lim ⁡ α ( x ) = 0 \lim \alpha(x)=0 limα(x)=0 lim ⁡ β ( x ) = 0 \lim \beta(x)=0 limβ(x)=0,且$$\beta(x)\not=0)。

高阶:如果 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = 0 \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0 limβ(x)α(x)=0,我们说 α ( x ) \alpha(x) α(x)是比 β ( x ) \beta(x) β(x)高阶的无穷小,记作 α ( x ) = o ( β ( x ) \alpha(x)=o(\beta(x) α(x)=o(β(x)

低阶:如果 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = ∞ \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty limβ(x)α(x)=,我们说 α ( x ) \alpha(x) α(x)是比 β ( x ) \beta(x) β(x)低阶的无穷小。

同阶:如果 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = C ≠ 0 \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\not=0 limβ(x)α(x)=C=0,我们说 α ( x ) \alpha(x) α(x) β ( x ) \beta(x) β(x)是同阶的。

K阶:如果 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) k = C ≠ 0 \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)^k}=C\not=0 limβ(x)kα(x)=C=0,我们说 α ( x ) \alpha(x) α(x) β ( x ) \beta(x) β(x)的k阶无穷小。(就好比10是5的两倍,这样理解会容易一些,但是区别在于找个阶不是倍数了,而是趋于0的快慢了。)

等价:如果 lim ⁡ α ( x ) β ( x ) = 1 \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1 limβ(x)α(x)=1,我们说 α ( x ) \alpha(x) α(x) β ( x ) \beta(x) β(x)是等价的无穷小。记作 α ( x )   β ( x ) \alpha(x)~\beta(x) α(x) β(x)

3.无穷小的性质

无穷小的性质1:有限个无穷小的和仍然是无穷小。

无穷小的性质2:有限个无穷小的积仍然是无穷小。

无穷小的性质3:无穷小量与有界量的积仍然是无穷小。

五、无穷大量

1.无穷大量的概念

无穷大量的定义:若函数自变量趋于定值或无穷的时候,函数的值(即因变量)趋向于无穷,则称函数为自变量趋于定值或无穷时的无穷大量。用数学语言描述:对任意的给定M>0,总存在 δ > 0 \delta>0 δ>0,当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<xx0<δ时,恒有 ∣ f ( x ) ∣ > M |f(x)|>M f(x)>M,则称 f ( x ) f(x) f(x)KaTeX parse error: Undefined control sequence: \tox at position 2: x\̲t̲o̲x̲_0时的无穷大量。

2.常用的无穷大量的比较

函数无穷大量的常用比较:当 x → + ∞ x \to +\infty x+时,{\lnx}^\alpha \leq x^\beta \leq a^x ( ( \alpha>0,\beta>0,a>1$)

数列无穷大量的常用比较:当 n → ∞ n \to \infty n时,{\lnn}^\alpha \leq n^\beta \leq a^n \leq n! \leq n^n ( ( \alpha>0,\beta>0,a>1$)

3.无穷大量的性质

无穷大量的性质1:两个无穷大量的积仍为无穷大量。

无穷大量的性质2:无穷大量和有界变量之和仍然为无穷大量。

4.无穷大量与无界变量的关系

无穷大量与无界变量的关系:无穷大量必为无界变量,无界变量不一定是无穷大量。

5.无穷大量与无穷小量的关系

定理:如果 f ( x ) f(x) f(x)是无穷大,那么 1 f ( x ) \frac {1}{f(x)} f(x)1是无穷小。

定理:如果 f ( x ) f(x) f(x)是无穷小,且不等于0;那么 1 f ( x ) \frac {1}{f(x)} f(x)1是无穷大。

五、求极限的方法

1.利用基本极限求极限

2. 1 ∞ 1^\infty 1型极限求法

3.利用等价无穷小代换求极限

4.利用有利运算法则求极限

5.利用洛必达法则求极限

6.利用泰勒公式求极限

7.利用夹逼原理求极限

8.利用单调有界准则求极限

提问部分:

1.极限的定义是什么?用数学语言如何描述?
2.极限的相关性质有哪些?
3.数列和函数极限都有哪些定理?
4.数列极限有哪些准则?
5.无穷小量是什么?
6.无穷小的比较是什么?
7.无穷小的性质定理是什么?
8.无穷大量是什么?
9.无穷大有哪些常用的比较形式?
10.无穷大的性质定理有什么?
11.无穷大和无穷小有什么关系?
12.求极限的方法有哪些?

(篇幅较长,作者水平有限,错误在所难免,望海涵、指正)

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