函数与极限

1. 函数
- 1.1. 基本函数性质与相关函数
- 1.2. 基本初等函数
  - 1.2.1. 高中基本初等函数
  - 1.2.2. 几个相对新的概念
2. 数列极限
3. 函数极限

1. 函数

（重要性）函数是微积分的研究对象，是沟通中学数学和微积分的桥梁。

大学重新学习函数的形式：

新的性质
复习深化

1.1. 基本函数性质与相关函数

1.1.1. 有界函数

在中学我们知道，函数的对应法则和定义域可以唯一确定一个函数。
描述有界函数的量：值域
方法：用定义域和对应法则来描述值域

自然语言表述：值域在有限的区间上的函数$\Rightarrow$数学语言表述：利用函数和定义域来说明。

$ 定义：设y=f(x),x\in\mathbb{D},\exists N, M\in\mathbb{N}, N\leq M, s.t.\forall x\in\mathbb{D}, N\leq f(x)\leq M,则称f(x)是有界函数。 $

说明：
- N, M只需要存在即可。
- 只要有一个上界（下界），就有无穷多个上界（下界）
- 上下确界。

定义：有上界和有下界
$ 有上界函数：设y=f(x), x\in\mathbb{D}, \exists N\in\mathbb{N}, s.t.\forall x\in\mathbb{D}, f(x)\leq N.则称f(x)是\mathbb{D}上的有上界函数。有下界函数定义方法类同。 $

几何意义：平面上的有界函数被两条线给限制住了。

一个推广（绝对值推广）：
- 将N, M减少一个；
- 可以使用绝对值函数的性质
例证明：$f(x)=sin^{80}x-6cos^{60}2x$有界
- 确定其定义域：$\mathbb{R}$
- 用好绝对值不等式的性质：$|f(x)|=|sin^{80}x-6cos^{60}2x|\leq |sin^{80}x|+|6cos^{60}2x|\leq 1+6=7$
例证明：$f(x)=\frac{x}{1+x^2}sinx$有界
1. （基本不等式整体）$ab\leq \frac{1}{2}(a^2+b^2)$当且仅当$a=b$时取等。拆成加和用绝对值不等式
2. （分母）$\frac{|x|}{1+|x|^2}\leq \frac{|x|}{2|x|}, 只需单独讨论x=0.$
3. （分子）$\frac{|x|\cdot 1}{1+|x|^2}\leq \frac{\frac{1}{2}(|x|^2+1)}{1+|x|^2},甚至不用讨论。$

1.1.2. 无界函数

（反向的拓展）

（预备）几组对立：$'\forall'和'\exists','\leq' 和'>'$
对有界函数的定义做如上的反向：
定义 $\forall M>0, \exists x_M\in\mathbb{D}，s.t.|f(x)|>M$

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练习这种反向表述，有利于我们使用反证法。
例证明：$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}在(0，1]$上是无界函数
- （分析法：要证B成立只要A成立）
- 构造出一系列的左箭头(或者说向左的更重要)：$\forall M>0,若要|f(x)|>M成立\Leftrightarrow |\frac{1}{\sqrt{x}}|>M\Leftarrow\frac{1}{\sqrt{x}}>M\Leftrightarrow\frac{1}{x}>M^2\Leftrightarrow(回到已知)0<x<\frac{1}{M^2}且0<x\leq1$,在最后的这两个条件限制之下，取一个合适的值:$x=\frac{1}{(1+M)^2}$

1.1.3. 复合函数

（求导的预备）

设$y=f(x),u\in D(f),u=\varphi(x),u\in R(\varphi)$,如果$D(f)\cap R(\varphi)\not=\varnothing,则称f(x)和u(x)是可以复合的。f(u)=f(\varphi(x)){\xlongequal{\mathrm{def}}}G(x)是两个对应法则的复合。$$其中u称为中间变量，f是外函数，\varphi 是内函数$
例 $y=\sqrt{u},u=-(1+x^2)\Rightarrow y=\sqrt{-(1+x^2)}就是不存在的。$
- 但同时我们不难发现，部分函数的定义域和值域都是不方便求出的，实际上，我们可以直接做出复合函数之后再进行求定义域操作，看有无定义域决定这个复合函数是否有意义。
例 $f(x)=\sqrt u, u=sin(x),复合的结果是y=\sqrt{sinx},定义域非空，要求sinx\geq0,得出x\in[2k\pi, (2k+1)\pi](k\in\mathbb{Z})$、
$\color{#FF0000}{例误}$ $（复合的陷阱仍然要注意基本数学运算，不可以盲目乱括）f(x)=2^x, \varphi(x)=x^2, F(x)=(2^x)^2=2^{2x}, G(x)=2^{x^2}\not=(2^x)^2$
$\color{#FF0000}{例误}$ $y=\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}的定义域：$
- $\ast 原式=\frac{1}{\frac{1-(1-x)}{1-x}}=\frac{1-x}{x}$，看似直接可以得出$x\not=0$,，又是没有考虑约分的时候已经有的$x\not=1$被忽略掉了。

从这里我们可以看出苏德矿老师对于高中实际情况的体察，或许这才是数学本来的样子？

1.1.4. 反函数

定义设$y=f(x), x\in\mathbb{D}, \forall x_1,x_2\in\mathbb{D}且x_1\not ={x_2}都有f(x_1)\not ={f(x_2)},则称y=f(x),x\in\mathbb{D}$为一一对应，反之，$\forall y\in\mathbb{R}(f), \exists|x\in\mathbb{D}且f(x)=y$与之对应。由这种对应关系，我们可以得到一个定义在$R(f)上的函数。记作x=f^{-1}(y),称为y=f(x), x\in\mathbb{D}$的反函数。一一对应是函数有反函数的充要条件。
$\color{#FF0000}{例误}$ $\ast$ 函数与反函数的图像关于$y=x$对称。
实际上，它们的图像是相同的，利用方程与曲线上点的对应关系（隐函数）来理解。
我们所说的对称的两条直线，是将反函数经过习惯化替换（y是因变量的情况）得到的函数。
例（常考点）若$y=f(x)$的反函数，记为$x=\varphi(y)，那么f(\varphi(y))=y, \,\varphi(f(x))=x$(这个例子足以说明反函数中两个变元严格的一一对应关系)
- 由这个对应关系，反函数有一类很好的性质，即单调性，且严格单调，与我们中学期间的单调概念基本等价。在数学分析课上我们已经给过证明。我们为了了解函数，还需要再把单调性的概念再次重温一下
（低频）求反函数：对原式变形，用$y$表示$x$而后对两个变元对换，即得（jcP4.3）。

1.1.5. 单调函数

定义：$y=f(x), x\in\mathbb{D}, \forall x_1, x_2\in\mathbb{D},且x_1<x_2都有f(x_1)\leq f(x_2)（或f(x_1)\geq f(x_2)), 那么我们称y=f(x)是\mathbb{D}$上的递增（递减）函数，这两类函数统称单调函数。
$若\forall x_1, x_2\in\mathbb{D}且x_1, x_2, 都有f(x_1)< f(x_2)(或者f(x_1) > f(x_2))$那么称为严格递增（严格递减）函数, 这两类函数统称为严格单调函数。
定理：$y=f(x),x\in \mathbb{D}$是严格单调函数则必有反函数，反之不成立；
- 典例 $y=\frac{1}{x}.$

1.1.6. 函数的基本性态

1.1.6.1. 单调性

利用单调性定义、一阶导数的正负进行判定。

1.1.6.2. 奇偶性

奇函数关于原点对称，若$x=0$处有定义则函数值必为$0.$偶函数关于原点对称
同性函数相加不改变奇偶性，相乘为偶函数。奇偶函数之积为奇函数。

1.1.6.3. 周期性

1.1.6.4. 有界性

1.2. 基本初等函数

1.2.1. 高中基本初等函数

1.2.1.1. 常值函数

$y=C$，定义域：$x\in\mathbb{R}$
注意这是一个函数，而不简单是一个常数

1.2.1.2. 幂函数

$y=x^\alpha\;$
定义域：$x\in\mathbb{D},$其中$\mathbb{D}$视$\alpha$的值而定。
例如：

$\alpha$是正数时，特别地，是自然数时：$\mathbb{R}$
对一般正有理数：若$\alpha$的分母是偶数，则$x$必须不小于零$(\color{#00FFFF}思考：$其反函数是一个偶次幂的幂函数，值域不小于零)，
$\alpha=0\,$时，$\{x\in\mathbb{R}|x\not=0\}.$
对于一般负有理数，可以用倒数的方式将其转化到前述情况，特别地，其分子为偶数时，则必须有$x>0$，因为分母不能为零。
无理数时，是通过有理数对其趋近，在趋近过程当中的有理数$\alpha$一定会出现偶数为分母的情况，故而必须有$x\not< 0$，且对负无理数有$x\not=0.$

1.2.1.3. 指数函数

$y=a^x, (a>0, a\not ={1}\;\ulcorner若a=1,思考其反函数不存在)$
定义域$x\in\mathbb{R}$
$a>1时单增，0<a<1时单减。$

$\color{#00FFFF}{思考：}$
- 为什么$a\not=1$?这个和我们即将谈到的对数函数互为反函数，$a=1$时，那么对数无意义是显而易见的事实：不存在一个数，使得1的这个数次方等于非1的数，而这正是对数函数运算的实质。因而两者各自在系数和底数取得1时无意义。
- 为什么$a\not<0$?同幂函数的分母为偶的情况，当$a<0$,由指数函数的连续取值，其在非整数次方处取值则无意义。
- 幂函数限制定义域，指数函数限制系数

1.2.1.4. 对数函数

（是指数函数的反函数，思考见指数函数）
$y=\log_ax(a>0, a\not=1，类似指数函数)$
$a>1时单增$

1.2.1.5. 三角函数

$y=\sin x, y=\cos x, y=\tan x$
在大学拓展：
$y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}(x\not ={k\pi})$,
$y=\csc x=\frac{1}{\sin x}(x\not={k\pi})$,
$y=\sec x=\frac{1}{\cos x}(x\not={\frac{(2k+1)\pi}{2}})$
它们的定义域限制均来自于分母不为零。而幂指对函数的定义域时常是由偶数分母分数次幂与反函数的存在性（这个与倒数有一定的对称性）所得。

重要的关系：
$1+\tan^2x=1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}$

1.2.1.6. 反三角函数

引入：
$y=\sin x，x\in \mathbb{R}$是显然不单调且不一一对应的，但是，当我们把定义域缩小到$x\in[$-$\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$时，$f(x)=\sin x$是严格单调函数，是有反函数的。由其值域为$[$-$1,\,1]$
从而我们定义：

\[x=\arcsin y, y\in[-1, 1], 值域为[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \]

按照习惯，反函数写成$y=\arcsin x, x\in[-1, 1]$,由前述对反函数的讨论，是与原函数对称的。
但这种改写有时候是多余的，视题目而定。

同样的可以定义$y=\arccos x,x\in[-1,1]$，值域为$[0, \pi]$.与$\cos x$在$[0,\,\pi]$上的单调性一致.$y=\arctan x,x\in\mathbb{R}$，值域为$[-$$\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

1.2.2. 几个相对新的概念

1.2.2.1. 初等函数

由六种基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算得到的函数称为初等函数。由定义不难看出，初等函数是有限的。
由六种基本初等函数函数经过有限次四则运算的函数称为简单初等函数。

1.2.2.2. 非初等函数

中学：分段函数是非初等函数：

\[f(x)= \begin{cases} \ln(1+x)&x>0,\\ x^2&x\leq0. \end{cases}\]

\[g(x)=\begin{cases} \frac{\sin x}{x}&x\not=0,\\ 1&x=0. \end{cases} \]

$\color{#FF0000}{反例}$

\[f(x)=\begin{cases} -x&x<0,\\ x&x>=0 \end{cases}=|x|=\sqrt {x^2},是初等函数 \]

所以我们应该找到一种更加普适的方法来判别是不是初等函数。

法一：
可以数，将一个大式拆成很多小的初等函数，并找出这些四则运算和复合运算。（见ky课程第三节）
法二：（一种感性的想法）
在可用初等函数（在一定程度上受个人数学技巧影响）表达的情况下不分段。
法三：
如果一个函数可以拆成几个基本初等函数或简单函数的复合那么就可以
例
$y=e^{\sqrt{1+\sin {\sqrt x}}}$,可以看成是由$y=e^u$和$u=\sqrt v, v=1+w, w=\sin t, t=\sqrt x复合而成的。$

1.2.2.3. 几个重要的函数

$1^。$ 符号函数（不定积分的简化，第二类曲面积分会用到）

\[f(x)=sgn\,x=\begin{cases} -1,&x<0,\\ 0,&x=0,\\ 1,&x>0.&\\ \end{cases} \]
$2^。$取整（高斯）函数
是关于刚刚谈到的感性判断初等函数法的一个反例：仅有一个表达式？但实际上它的表达式并不是基本初等函数。
$3^。$ Dirichlet 函数
- 画不出图像
- 所有正有理数都是它的周期
- 可以用于连续性举反例
$4^。$ 幂指函数
- 常用性质
  $y=u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$
  由于$e$相关的导数很简洁，所以这样的代换在以后的分析当中是非常有益的。

2. 数列极限

（重要性）
- 数列极限是微积分的核心，其思想方法贯穿于整个微积分中。
- 苏德矿: 数列极限是最基本、最核心、最重要，也可能是最难的部分：“星星之火”

2.1. 数列

定义：无限排列的一列数，称为数列，记作$\{a_n\}$,$a_n$是数列的通项。

构造：对函数$y=f(x), x\in\mathbb{D}\,取\,\mathbb{N^*}$，由于自变量n可以按照自然数的顺序排成一无限列。$f(n):, f(1), f(2), f(3), \cdots\cdots,f(n), \cdots$这个函数值的排列就是数列，换成记号$\{a_n\}$就得到惯常所说的数列，$f(n)$也就称为数列的通项公式。

不研究所有项,只需要知道它的趋势即可

庄子:
$\Huge"$一尺之棰,,日取其半,万世不竭.

2.2. 极限

例
- $1, \frac{1}{2},\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{(-1)^{n-1}}{n},\cdots$
- $1, \frac{1}{2},\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{(-1)^{n-1}}{n},\cdots$以上两个数列,趋势"为0
- $\{1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}\}$"趋势"为1.
- $\{n\}$无"趋势"

从以上这几个例子我们看出，我们所说的"趋势"是一种趋向常数的，我们把这种“趋势”叫做极限

2.2.1. 定性描述

（不能用于推理）

设$\{a_n\}$是一个给定数列，$a$是一个确定的常数，随着n无限增大，数列的项与$a$无限接近。（要多接近有多接近）
那么我们称数列$\{a_n\}$的极限为$a$
记作$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$或者$a_n\to a(n\to \infty)$
为了能够实现数学推理，我们必须给出用数学表达式给的定义。

仔细思考这个要多接近有多接近：

$1^。$ 我们先要给出一个数学表达式来定量说明“接近” $|a_n-a|$?
$2^。$ 给出一个要多接近：$\forall\varepsilon>0$
$3^。$ 再看能不能有多接近：$\exists N\in\mathbb{N}，s.t.\,n>N时，|a_n-a|<\varepsilon$

2.2.2. 定量描述

完成了上述的思考过程我们写出正式的数列极限定义：
设$\{a_n\}$是一个给定的数列，$a$是一个确定的常数，若$\underbrace{\forall\varepsilon>0}_\text{要多接近}$,$\exists N\in\mathbb{N}$,当$n>N$时都有$\underbrace{|a_n-a|<\varepsilon}_\text{有多接近}$

2.2.3. 极限的意义

$0^。$极限的提出解决的将无限逼近的概念有效量化.
- 例 (无限问题的复杂性)
\[\begin{aligned} f(n)&=1-1+1-1+1-1\cdots\\&=(1-1)+(1-1)\cdots=0\\&=1+(-1+1)+(-1+1)\cdots=1 \end{aligned} \]
$1^。$定义中$\forall\varepsilon>0, \varepsilon$指的是一切正数。尽可能小则可，不能限制$\varepsilon$大于某个正数:如增大为$\,\varepsilon+1$;但是可以取$\forall\varepsilon\in(0,1),\,\varepsilon^2,\,\frac{\varepsilon}{2}.$

3米以下的人叫矮人是没有意义的.
$2^。N$的对应性: 先有$\,\varepsilon$, 再有$\,\mathbb{N}$,使得$\,n>N$时都有$|a_n-a|<\varepsilon$,由类似有界函数的说法,有一个$N$就有无数个$N'$,因而$n>N$可以改写成$n\geq N$
- 实际上,我们可以由$n\geq N$推回原条件结论,因为在一定程度上,这是一个放宽条件,从而是一个只加强条件,却不改变结论的必然成立的命题.
  (通俗版解释:既然找到了一个N使得刚好比它大的n都满足条件,那么比它大的n肯定都能使得结论成立，这个$N$不是一个确定的，而是对两个变化的容器赋值的结果。)
  形式上类似地链接jc.p14.例14(1999,II)
$3^。$几何意义:$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$即$\forall\varepsilon>0,\exists N,$当$n>N$时有$|a_n-a|<\varepsilon\Leftrightarrow a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon$（在数轴上的一个区间内）$\Leftrightarrow a_n\in(a-\varepsilon, a+\varepsilon)\xlongequal{\mathrm{def}}\mathrm{u(a,\,\varepsilon)}(读作a的\varepsilon邻域)$
a的任何$\varepsilon$邻域外只有$a_n$的有限项，其余项统统在邻域内。无论外面有多少项，均是有限项。

2.2.4. 极限的证明

数列极限的证明很多时候与巧妙的构造相关，但这些构造往往并不是神来之笔，很多时候时由于高中对于分析法的强调不够所致。
我们在这里使用分析法，既是对高中思想方法的深入，也是对极限理解的深入。

2.2.4.1. 一般方法

要证$\lim\limits_{n\to\infty}a_n =a:\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},$当$n>N$时，都有$|a_n-a|<\varepsilon$成立.
那么在具体的题目里，$a_n,a$已知，$\forall\varepsilon>0,\varepsilon$也可以看成定值，那就变成了一个对$n$的不等式。即

\[|a_n-a|<\varepsilon\Leftrightarrow n>N \]

例
- $1^。$证明$\lim\limits_{n\to\infty}C=C$:（熟悉极限定义）
  
  \[\forall\varepsilon>0,取N>1,当n>N时都有|C-C|=0<\varepsilon \]
- $2^。$证明$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0(k>0, k=C)（\ast）$：（了解解不等式的思路）
\[\begin{aligned} &\qquad\forall\varepsilon>0,|\frac{1}{n^k}-0|<\varepsilon成立\\ &\Leftrightarrow(由于n>0)\frac{1}{n^k}<\varepsilon\\ &\Leftrightarrow(由于\varepsilon>0){n^k}>\frac{1}{\varepsilon}\\ &\Leftrightarrow n>(\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{k}},\\&此时我们实际上已经求出了结果 \end{aligned} \]
再对上述边界值取整即

\[N=[(\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{k}}] \]
则当n>N+1时原不等式成立,从而证明了($\ast$)
- $3^。$证明$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0 (|q|<1,q为常数)$：（分类讨论）
  - $(i)$$q=0时，{q_n}={0}\,,由例1知极限为0$
  - $(ii)$$当q\not={0},$先讨论$q>0$
  \[\begin{aligned} &\qquad\forall\varepsilon>0,若要|q^n-0|<\varepsilon成立\\&\Leftrightarrow|q|^n<\varepsilon(利用幂指特性,q>0,|q|<1)\\ &\Leftrightarrow\ln |q|^n<\ln\varepsilon(严格单调的的好性质)\\&\Leftrightarrow n\ln |q|<\ln\varepsilon\\ &\Leftrightarrow n<\frac{\ln\varepsilon}{\ln|q|}\\&其余同例2 \end{aligned} \]
  - $(iii)$$\,同(ii)$
- $4^。$证明$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1(a>0,a=C)$：
  - $(i)$$a=1,\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1}=\lim\limits_{n\to\infty}1=1$
  - $(ii)$$a>1,$
  \[\begin{aligned} \forall&\varepsilon>0,若要|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon成立\\&\Leftrightarrow\sqrt[n]{a}-1<\varepsilon\\&\Leftrightarrow\sqrt[n]{a}<1+\varepsilon\\&\Leftrightarrow \frac{1}{n}\ln a<\ln(1+\varepsilon)(各部>0)\\&\Leftrightarrow n>\frac{\ln a}{\ln (1+\varepsilon)} \\Ti&ps:取负数、倒数不等号方向改变。\\&\qquad其余(iii)同(ii) \end{aligned}\]

2.2.4.2. 适当放大法

虽然解不等式似乎简单易行，但实际情况往往不能直接解，尤其在一些复杂困难的题目当中，需要灵活使用放缩法。

$\forall\varepsilon>0,$若要$|a_n-a|<\varepsilon$成立，构造$g(n)\,s.t.\exists N_1\in\mathbb{N}\,,n>N_1时有|a_n-a|\leq g(n),$再分析$g(n)$
要求：$①\lim\limits_{n\to\infty}g(n)=0;$
$\qquad\quad②g(n)$尽可能简单
对$g(n)，\exists N_2\in\mathbb{N}\,s.t.n>N_2时有|g(n)-0|<\varepsilon$，那么取$N=max\{N_1, N_2\}$，有$n>N$时$|a_n-a|<\varepsilon$
例
- $1^。$证明$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2\sin n!+100}{n^{40}+2n^{32}+1}=0$:
\[\begin{aligned} \qquad\forall\varepsilon>&0,\left|\frac{n^2\sin n!+100}{n^{40}+2n^{32}+1}-0\right|\\ &\leq\frac{|n^2\sin n!|+100}{n^{40}+2n^{32}+1}\\ &\leq\frac{n^2+100}{n^{40}+2n^{32}+1}\\ &<\frac{n^2+n^2}{n^{40}}(n>10)\\ &=\frac{2n^2}{n^{40}}<\frac{2n^2}{n^{3}}=\frac{2}{n}\xlongequal{记为}g(n)\\ &只需取N=max\{\frac{2}{\varepsilon},\,10\}得证 \end{aligned}\]
- $2^。$证明$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0(a=C)$:
  证法一：
\[\begin{aligned} \forall\varepsilon&>0,\left|\frac{a^n}{n!}-0\right|<\varepsilon成立\\&\Leftrightarrow \frac{|a^n|}{n!}<\varepsilon成立，由于a为常数\\ \exists&m\in\mathbb{N},|a|\leq m,从而原式\\ &=\frac{|a|}{1}\cdot\frac{|a|}{2}\cdot\frac{|a|}{3}\cdots\frac{|a|}{n}\\ &\leq \underbrace{\frac{m}{1}\cdot\frac{m}{2}\cdots\frac{m}{m}}_\text{M}\cdot\frac{m}{m+1}\cdots\frac{m}{n}\\ &<M\cdot\frac{m}{n}(m<n)\\ &取N=max\{\frac{mM}{\varepsilon}, m\}即得 \end{aligned}\]
证法二：（夹逼定理）
同（一）中$m,$由于$0<\frac{a^n}{n!}<\frac{m}{1}\cdot\frac{m\cdot m\cdot m\cdots m}{2\cdot3\cdot4\cdots(n-1)}\cdot\frac{m}{n}<\frac{m^2}{n}$夹逼得。
证法三：（单调收敛）
令$x_{n+1}=\frac{a^n}{n!},$则$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{a}{n+1}，$当$n>[a]$时数列$\{x_n\}$单调减。又$x_n=\frac{a^n}{n!}>0,$单调有界，故收敛。两端取极限值得$a=a\cdot0,$故而$a=0.$

这两道例题均要注意其中几个边界值的大小关系。均满足的放大才能走通。

2.2.5. 几个重要极限

这几个极限我们已经在上面证明过，简单总结如下备查:

\[\begin{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}C&=C(C为常数)\\\ \\ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}&=0(k为常数)\\\ \\ \lim\limits_{n\to\infty}q^n&=0(0<q<1,q为常数)\\\ \\ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}&=1(a>0,a为常数)\\\ \\ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}&=1(借助二项式展开)\\ \end{aligned}\]

2.3. 收敛数列的性质

一般的学习过程：概念、定义、性质、定理、推论、公式、方法、适当的练习（证明与应用）
我们在概念定义的基础上探讨性质定理，实质可以归结为以下三条：

加深对概念的理解

提高已有数学符号和概念的抽象程度，强化我们的数学直观

更快捷地使用

为何要讨论收敛数列的性质？
前述的严密推断——尤其时适当放大法——有时候不易想到，为了增添一些直观性的能够指导我们进行思考的理解，研究相关的性质是很有益的。
什么是收敛数列？
数列$\{a_n\}$有极限，则称$\{a_n\}$收敛，否则称$\{a_n\}$发散。

2.3.1. 唯一性

反证法：（同一法的思路）(也可以直接取$\varepsilon=\frac{|a-b|}{2}$)

\[假设\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b,且a\not=b, \]

\[\begin{aligned}\forall\varepsilon>0,\,&\exists N_1,n>N_1时都有|a_n-a|<\varepsilon\\ &\exists N_2,n>N_2时都有|a_n-b|<\varepsilon\\ \end{aligned} \]

取

\[N=max\{N_1, N_2\},当n>N时都有|a_n-a|<\varepsilon,|a_n-b|<\varepsilon$$于是 |a-b|\leq|a-a_n|+|a_n-b|\leq\varepsilon+\varepsilon\leq2\varepsilon. \]

由$\varepsilon$的任意性,a=b.

2.3.2. 有界性

2.3.2.1. 相关的性质

一个数列，改变其有限项或增删有限项收敛性不变，若原数列收敛，其仍然收敛且极限值不变。
对一个收敛数列的上述性质换一个说法，即设收敛数列$\{a_n\}\to a$，改变其有限项，新得到的数列$\{a_n\}$仍有$\{a_n'\}\to a$
若$\exists常数M>0，\forall n\in\mathbb{N}$均有$|a_n|\leq M$,则称$\{a_n\}$有界。

2.3.2.2. 有界性($\ast$)

若数列$\{a_n\}$收敛，则数列$\{a_n\}$有界.
证明：记$\{a_n\}$的极限是$a$，$\forall \varepsilon>0,$$\exists N\in\mathbb{N},s.t.n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$,特别地取$\varepsilon=1$，$|a_n|-|a|\leq |a_n-a|<1$,现取$M=max\{a_1, a_2, a_3,\cdots,a_{N},1+|a|\}$即为界。

逆否命题可用于证明发散，逆性质却不正确：例如$\{(-1)^n\}$:要多思考一个定理的反面。

2.3.3. 保序性

跑步比赛中先到的，一定会在接近终点的一段路程内跑在前面；
一直跑在前面的，必然不会后到。

2.3.3.1. 性质1

若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b,$且$a<b$，则当$n>N_0,a_n<b_n$

证明同样是取$\varepsilon=\frac{b-a}{2}$,可以得到

\[a_n<\frac{b-a}{2}+a=\frac{a+b}{2}< b-\frac{b-a}{2}< b_n \]

2.3.3.2. 性质2

若$\exists N_0,$当$n>N_0$时，都有$a_n\geq b_n$,且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=b,$（这个叙述了极限存在，如果极限不存在，类比没有跑到终点）则$a\geq b$
用反证法：设$a<b$
$\exists N_1\in \mathbb{N},s.t.\,n>N_1时|a_n-a|<\frac{b-a}{2}.$
$\exists N_2\in \mathbb{N},s.t.\,n>N_2时|b_n-b|<\frac{b-a}{2}.$
$那么a_n<\frac{a+b}{2}< b_n(利用性质1)$
与题设矛盾。

2.3.3.3. 思考

对性质1：

与极限大小相关的命题更加模糊（弱），更容易被推出（用模糊大小关系），但不容易推出别的结论。比如条件中必须有$a<b$,如果取$a\leq b，$那么条件太弱，根本保不住……

对性质2：

若条件中的“$a_n\geq b_n$”改成“$a_n>b_n$”可以吗？

可以，相当于加强条件，原来结论仍然成立。

若结论中的“$a\geq b$”改成“$a>b$”可以吗？

不可以！$\color{#FF0000}{反例}$：

\[\begin{aligned} a_n&=\ \frac{1}{n};\\ b_n&=(-\frac{1}{n}); \end{aligned}\]

2.3.3.4. 推论保号性（$\ast$）

若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a,(a<0)$对任何常数$0<\eta<a(a<\eta<0)\exists N\in\mathbb{N}, 当n>N$$时都有a_n>\eta>0(a_n<\eta<0)$
证明时取$\{b_n\}s.t.b_n=\eta,\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\eta$

2.3.4. 极限的四则运算性质

若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=b,$则：

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim\limits_{n\to\infty} a_n\pm\lim\limits_{n\to\infty} b_n,\\ &\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\cdot \lim\limits_{n\to\infty}b_n,\\ &\lim\limits_{n\to\infty}(C\cdot a_n)=C\cdot\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\\ &\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}=\frac{a}{b}. \end{aligned}\]

数列极限的四则运算可以推广到有限多部，前提是这些数列部的极限均存在；不能推广到无限项，

$\color{#FF0000}{反例}$ $\lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots\frac{1}{n}}_\text{n个})=0？？？$

结合多种运算法则以及$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0$,得：

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_0\cdot n^k+a_1\cdot n^{k-1}+a_2\cdot n^{k-2}+\cdots a_k}{b_0\cdot n^m+b_1\cdot n^{m-1}+b_2\cdot n^{m-2}+\cdots b_m}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^k}{n^m}\cdot\frac{a_0+a_1\cdot{\frac{1}{n}}+\cdots+a_k\cdot{(\frac{1}{n})}^k}{b_0+b_1\cdot\frac{1}{n}+\cdots+a_m\cdot{(\frac{1}{n})}^m}\\&= \begin{cases}0, & k<m;\\ \frac{a_0}{b_0},&k=m\\ \infty, &k>m\\ \end{cases} \end{aligned}\]

(抓大放小)
实际上是区别无穷大的阶。
另外地，我们还可以有抓大放小的更一般的形式。

例 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^n+n^2}{e^n+\ln n}=\lim\limits_{b\to\infty}\frac{2^n}{e^n}=0.$

但我们仍然会不时发现，四则运算法则不能解决所有的问题。比如当出现四则运算以外的运算结构时，我们会束手无措。

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2^n+3^n+4^n}=$？这就需要我们研究出更为普适的方法来求解极限。

2.3.5. 极限值和无穷小之间的关系

$\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x).$其中$\lim\alpha(x)=0.$

2.4. 判断数列收敛的两个准则

2.4.1. 夹逼定理

内容：若$\exists N_0,$当$n>N_0$时，都有$a_n\leq c_n\leq b_n$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=a,$那么数列$\{c_n\}$收敛且$\lim\limits_{n\to\infty}{c_n}=a.$
证明：由题，$\forall \varepsilon>0,\exists N_1\in\mathbb{N}, s.t.n>N_1$时有$|a_n-a|<\varepsilon,\exists N_2\in\mathbb{N},s.t.n>N_2$时有$|b_n-b|<\varepsilon$,取$N=max\{N_0, N_1, N_2\},$则当$n>N$时都有，$a-\varepsilon\leq a_n\leq c_n\leq b_n< a+\varepsilon$,由$\varepsilon$的任意性，得证。
若一个数列有很多项相加或者相乘，但不能化简，不能用极限的四则运算时，放缩后使得上下界数列极限相等。

例
- $1^。$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}(0<a\leq b\leq c, 均为常数)$
  $c=\sqrt[n]{c^n}\leq\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\leq \sqrt[n]{3c^n}=c\cdot\sqrt[n]{3}$
  由重要极限$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1(a>0,a为常数)$知，$\lim\limits_{n\to\infty}{c\cdot\sqrt[n]{3}}=c$,再由夹逼定理知，原极限$=c$
- $2^。$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt {1\cdot 2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{2\cdot 3}}{n^2+2}+\cdots\frac{\sqrt{n\cdot n+1}}{n^2+n}\right)=?$
  证明：
\[\begin{aligned} c_n&=\underbrace{\frac{\sqrt{1\cdot 2}}{n^2+1}+\frac{\sqrt{2\cdot 3}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sqrt{n\cdot n+1}}{n^2+n}}_\text{缩分母放大}\\ &<\frac{1}{n^2}\left(\sqrt{1\cdot 2}+\sqrt{2\cdot 3}+\cdots\sqrt{n\cdot (n+1)}\right)\\ &<\frac{1}{n^2}(\underbrace{\sqrt{2\cdot 2}}_\text{放大+消根号}+\sqrt{3\cdot 3}+\cdots+\sqrt{(n+1)\cdot(n+1)})\\ &=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot(n+3)}{2}=\frac{n+3}{2n}\to\frac{1}{2}（确定目标） \end{aligned}\]
由以上的上界数列我们已经找到了下界数列的目标极限值。

\[\begin{aligned} c_n&>\frac{1}{n^2+n}\left(\sqrt{1\cdot 1}+\sqrt{2\cdot 2}+\cdots+\sqrt{n\cdot n}\right)\\ &=\frac{1}{n(n+1)}\cdot \frac{n(n+1)}{2}(等差求和)\\ &=\frac{1}{2}; \end{aligned}\]
由夹逼定理得证。

2.4.2. 单调有界收敛原理

内容：若数列$\{a_n\}$递增有上界，即$a_1\leq a_2\leq a_3\cdots \leq a_n\cdots，$且$\,\exists M=C,\forall n\in\mathbb{N}$都有$a_n\leq M,$则$\{a_n\}$收敛。

注：
- $1^。$（不证明）苏德矿《微积分》将此作为公理，易于证明其他六个等价公理。
- $2^。$（条件可减弱）定理条件可以减弱为$\{a_n\}$当$n\geq N_0$时单调有界。（改变有限项不改变原数列的收敛性）
- $3^。$（使用情境）若$\{a_n\}$是由递推关系式给出，或证明$\{a_n\}$收敛，或者不能用夹逼定理，尝试用单调有界。（某些时候只能证明收敛难以求出极限）<利用函数连续性，利用符合精度的近似值求解>

2.5. 研究$\{{(1+\frac{1}{n})}^n\}$的收敛性

首先，这个问题有无穷项，不能使用四则运算
其次，很难找到上下界数列，不能使用夹逼定理
于是，单调有界（刚好也是研究收敛性）定理可以使用

\[由平均值不等式:\sqrt[n+1]{{(1+\frac{1}{n})}^n\cdot 1}<\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1} \]

然后要证明有界

\[\begin{aligned} \sqrt[n]{\frac{1}{4}}&=\sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \underbrace{1\cdots 1}_\text{n-2个}}<\frac{1+n-2}{n}\\ &<1-\frac{1}{n}<1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\quad ■ \end{aligned}\]

简单讨论一下上面使用的方法：在难以直接求出极限或者只用求收敛性的时候，我们使用单调收敛原理。先求得收敛以后再想办法找到极限$\to$利用函数连续性和收敛性解方程。

\[设c>0, x_1=\sqrt{c},x_2=\sqrt{c+\sqrt{c}}\cdots , \]

\[x_n=\sqrt{c+\underbrace{\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\cdots}}}}_\text{n-1个根号}} \]

证明$\{x_n\}$收敛,并求极限。
由条件$x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}$,$\,x_{n+1}-x_n=\sqrt{c+\sqrt{x_n}}-x_n$=$\frac{c+x_n-{x_n}^2}{\sqrt{c+x_n}+x_n}=\frac{x_n-x_{n-1}}{正数}$，从而单调。而$x_2-x_1=\sqrt{c+\sqrt{c}}-\sqrt{c}>0$
$\Rightarrow x_{n+1}-x_n>0\,$得到单增(利用数学归纳法).
而又有

\[\begin{aligned} x_n&<\sqrt{c+x_n}\\ x_n^2&<c+x_n\\ x_n^2&-x_n-c<0\\ x_n&=\frac{1\pm\sqrt{1+4c}}{2} \end{aligned}\]

由二次函数的特性，$x_n$有上界，从而由单调有界收敛定理知$\{x_n\}$收敛,然后利用$f(x)=\sqrt{c+x}$的连续性,问题转化为：

\[解方程：x=\sqrt{c+x},其中\,x>0. \]

在只求分数的情况下，我们可以先解极限值，再用极限值反说有界，例如此题我们可以先解方程得$极限a=\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$。

前面已经证明

\[x_n<x_{n+1},a<\frac{1+\sqrt{1+4c+4\sqrt{c}}}{2}<\frac{2+2\sqrt{c}}{2}=1+\sqrt{c}. \]

现在我们可以利用数学归纳法

\[\begin{aligned} x_{k+1}&=\sqrt{c+x_k}\\ &<\sqrt{c+1+\sqrt{c}}\\ &<\sqrt{c+1+2\sqrt{c}}\\ &=1+\sqrt{c} \end{aligned}\]

得知$\{x_n\}$有上界$1+\sqrt{c}$。从而亦能自洽。再给一个类似的例子：

例 $x_0=1, x_n=\frac{2{x_{n-1}}^3+1}{3{x_{n-1}}^2}(n=1,2,3\cdots)$证明：$\{x_n\}$收敛，并求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n;$

\[\begin{aligned} x_n-x_{n-1}&=\frac{2x_{n-1}^3+1}{3x_{n-1}^2}-x_{n-1}\\ &=\frac{-x_{n-1}^3+1}{3x_{n-1}^2} \end{aligned}\]

而由条件知$x_n>0$

\[x_n=\frac{1}{3}(x_{n-1}+x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^2})\geq\sqrt{x_{n-1}\cdot x_{n-1}\cdot\frac{1}{x_{n-1}^2}}=1 \]

得$x_n<x_{n-1}$,由单调有界收敛原理知收敛。解方程

\[a=\frac{2a^3+1}{3a^2} \]

得$a=1$.

2.6. 子列

定义：设$\{a_n\}$是一个给定的数列，从该数列中挑选出无限项组成一个无限列：$a_{n_1},a_{n_2},\cdots a_{n_k}\cdots$,称为$\{a_n\}$的子列，记作$\{a_{n_k}\}$.

性质：
- $1^。$$n_k\geq k$
- $2^。$数列$\{a_n\}$收敛的一个充要条件是：
\[\small\{a_n\}的任一子列都收敛且极限相等。 \]
- 推论：证明数列发散的另一个思路：一个数列存在两个极限不相等的子列。
子列更好用的一个定理：数列$\{a_n\}$收敛的充要条件是：$\{a_{2k}\}$和$\{a_{2k-1}\}$均收敛且极限相等。

3. 函数极限

这一章主要学习关于函数极限的问题。主干知识分为两个大类：一类是函数极限的判定四种方法：

左右极限
Heine定理
夹逼定理
单调收敛原理

均需要注意其与数列的联系。

另一类是为求算极限服务的理论基础：

无穷量（大、小，阶，性质）
无穷量的等价替换原则
连续
重要极限模型

3.1. 从数列到函数

数列是一种离散的数学结构，为了解决普遍连续的数学问题，我们需要进一步讨论函数的极限问题。

数列的本质是一种以正整数集为定义域的函数，从而类比数列极限中得到的结果，即有：
设$f(x)$在$[a,+\infty)$上有定义（$a=C$）若$\,\exists A,s.t.\forall\varepsilon>0,\exists X>0,$当$x>X$时，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$则称$f(x)$当$x$趋于正无穷大时的极限为$A$，记作$\lim\limits_{n\to\infty}=A$或者$f(x)\to A.$
同样地，我们可以定义负无穷大$x<-X$时。

对一般的$\infty$:设$f(x)$在$(-\infty,a]\cup[b, \infty)(a\leq b)$, $A$是一个确定的常数，若$\forall\varepsilon>0,\exists X>0, |x|>X$时（即$x>X$或$x<-X$）时，均有$|f(x)-A|<\varepsilon$称$f(x)$当$x$趋于无穷大时极限为$A$，记作$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$,或$f(x)\to A$

定理：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$的充分必要条件是$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$①,$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=A$②.
证明：充分性：由①得$\forall\varepsilon>0,\exists X_1>0$，当$x>X_1$时都有$|f(x)-A|<\varepsilon$,对上述$\varepsilon$,$\exists X_2$,当$x<-X_2$时都有$|f(x)-A|<\varepsilon$,从而取$X=max\{X_1, X_2\}$得证。
(以上是为了证明这个定理，我们对X使用了角标)

例证明：

\[\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^k}=0(k>0,k为常数) \]

证：

\[\begin{aligned} \forall\varepsilon>0,若要&|\frac{1}{x^k}-0|<\varepsilon成立，\\ \Leftrightarrow&\frac{1}{|x|^k}<\varepsilon\\ \Leftrightarrow&|x|^k>\frac{1}{\varepsilon}\\ \Leftrightarrow&|x|>{(\frac{1}{\varepsilon})}^{\frac{1}{k}}\\ 现在取&X={(\frac{1}{\varepsilon})}^{(\frac{1}{k})}>0即得 \end{aligned}\]

以上的极限，类似数列极限，是经由正向极大而产生的。但函数具有独特的连续性，在这个连续性的基础上，我们完全可以寻找对某一点周围的稠密逼近。
画图以后，我们明白了这个稠密逼近的说法，是永远不抵达该点，从而我们在求极限时只需考虑空心邻域$U_0$。

定义若$\delta_0>0，f(x)$在$U_0(x_0,\delta_0)$中定义，$\forall\varepsilon>0$,$\exists \delta>0(\delta\leq\delta_0),$当$x\in U_0(x_0,\delta)$时，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$,则称$f(x)$当$x$趋于$x_0$的极限为$A$记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或者$f(x)\to A(x\to x_0)$

由前述所说，函数极限的本质时连续逼近，这种连续带来了极好的无限性。直观地理解，只要该点没有大动作，都可以找到极限（极限小趋近，而数列只能向极大）

例
- $1^。$
  证明：$\lim\limits_{x\to x_0}C=C$
  如果改成$x\to\infty?$
  也成立。证明如下：
  $\forall\varepsilon>0$取$h=1>0,$当$x\in(h, +\infty)$时，有$|C-C|=0<\varepsilon$;
- $2^。$
  证明$\lim\limits_{x\to x_0}x=x_0,\forall\varepsilon>0$
  取$\delta=\varepsilon$当$x\in U_0(x_0, \delta)$时，$|x-x_0|<\delta=\varepsilon$,即证。
- $3^。$证明$\lim\limits_{x\to1}(3x+2)=5$
  $\forall\varepsilon>0,$若要$|3x+2-5|=3|x-1|<\varepsilon$,取$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$,当$x\in U_0(1,\frac{\varepsilon}{3})$时，$|x-1|<\frac{\varepsilon}{3}$,从而当$3|x-1|<\varepsilon$，即$|3x+2-5|<\varepsilon$

3.2. 函数极限的一个充要判别

对于函数在一点的极限情况，类比于正负无穷大。我们可以定义从正方向趋近的和负方向趋近的，即左极限和右极限。

右极限：设$\exists\delta_0>0,f(x)$在$U_{0+}(x_0, \delta_0)$,$A$是确定常数。$\forall\varepsilon>0,\exists0<\delta\leq \delta_0,$当$x<x_0+\delta$都有$|f(x)-A|<\varepsilon$,则称$f(x)$在$A$的右极限是$A$，记作$\lim\limits_{x\to x_{0+}}=A=f(x_0+0)=f(x_0^{+})$
左极限：设$\exists\delta_0>0,f(x)$在$U_{0-}(x_0,\delta_0)$内定义，$A$是确定常数，$\forall\varepsilon>0,\exists\delta(\delta<\delta_0),x_0-\delta<x<x_0$时，都有$|f(x)-A|<\varepsilon,$称$f(x)$在$A$的左极限是$A$，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A=f(x_0-0)=f(x_0-0)=f(x_{0-})$.

引入左右极限之后，我们找到了一个判别$f(x)$在一点$x_0$右极限的充分必要条件。即：
$\lim\limits_{x\to x_{0-}}f(x)=\lim\limits_{{x\to x_{0+}}}f(x)$

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$的几何意义:
$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,$$x\in(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0, x_0+\delta)$时，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$.分析之后我们发现是一个函数图像在某一个点周围波动极弱，只要足够逼近都可以发现一段相对平缓的变化。

3.3. 函数极限的性质

以$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$为例（$x_0$是常数）

$1^。$（唯一性）
$2^。$（局部有界性）

正是因为这个单点极限所以才存在局部有界的可能。

若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,$则$\exists\delta_0>0,$当$x\in U_0(x_0, \delta_0)$时，$|f(x)|\leq M,$
证明：由$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,$取$\varepsilon=1>0,\exists\delta_0>0,$当$0<|x-x_0|<\delta_0,\,$都有$\,|f(x)-A|<1.$
$|f(x)|-|A|<|f(x)-A|<1$,故而可取$M=1+|A|$
$3^。$（保序性）
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,$$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B.$且$A<B,$则$\exists\delta_0>0,$当$0<|x-x_0|<\delta_0$时，有$f(x)<g(x)$.
- (推论) 若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A>0,$对任何常数$\eta <A(或者A<\eta, A<0),\exists\delta \,s.t.$当$0<|x-x_0|<\delta$时都有$f(x)>\eta>0(f(x)<\eta<0)$
$4^。$（保序性II）$\exists\delta_0，$当$0<|x-x_0|<\delta_0$时，都有$f(x)\leq g(x)$且$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A，\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B，$那么$A\leq B.$
$5^。$（四则运算性质）若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B,$则
$\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=A\pm B$.
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=AB$.
$\lim\limits_{x\to x_0}C\cdot f(x)=C\cdot A$.
$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$.
利用商法则，还可以得出以下三个重要结论：
1. 极限非零的因子的极限可以先求出来。（链接等价量替换定理）
2. 若$\lim\frac{f(x)}{g(x)}$存在，$\lim g(x)=0,\Rightarrow\lim f(x)=0$
3. 若$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\not=0,\lim f(x)=0,\Rightarrow g(x)=0.$
- （补充）$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\geq 0,$则$\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{A}$
例（消除零因子）
$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^3-1}=$$\lim\limits_{x\to1}\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{2}{3}$（有条件要上）
$\lim\limits_{x\to1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$(没有条件创造条件也要上)$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)({(\sqrt[3]{x})}^2+\sqrt[3]{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{3}{2}$

有了如上的法则，我们可以更快地判别一个函数是否在一点有极限。

例
$f(x)=\begin{cases}x+\sqrt{1+x^2}&x<1\\x^2+2&x\geq1\end{cases}$
在$x=1$处没有极限。（一元多项式函数性质+根号法则）

3.4. Heine定理——另一个判别

3.4.1. Heine定理的内容和简要证明

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在的充要条件是：
若$\forall{x_n}\subset U_0{(x_0)}$且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$，则$\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)$存在且值相等。
证明：必要性：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在，设$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A，$即$\forall\varepsilon>0,$当$\,0<|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-A|<\varepsilon；$然而对上述的$\delta,\exists N\in\mathbb{N},n>N$有$|x_n-x_0|<\delta$，从而得到$|f(x)-A|<\varepsilon$(类似复合函数)
充分性：(由于给出的现有条件是一个trigger类型的。所以必须先构造满足条件的)$\{x_n\}\subset U_0(x_0)。$我们构造的能力是很有限的，因而不可能通过穷举的思路找到所有数列，毕竟趋近方式很多种，很难保证数列收敛，对高度连续的函数就一定收敛；或者说这是一个由弱推强的问题，用反证法很适宜。)
（反证）假设$f(x)$当$x\to x_0$时不以$A$为极限，即$\exists\varepsilon_0>0$，对无论多么小的$\delta>0,$
$\exists x_1,s.t.0<|x_1-x_0|<\delta,$仍有$|f(x_1)-A|\geq\varepsilon_0,$
$\exists x_2,s.t.0<|x_2-x_0|<\frac{\delta}{2},$仍有$|f(x_2)-A|\geq\varepsilon_0,$
$\cdots\quad\cdots$
$\exists x_n,s.t.0<|x_n-x_0|<\frac{\delta}{n},$仍有$|f(x_n)-A|\geq\varepsilon_0,$
从而我们构造出一个数列$\{x_n\}$且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0，$由trigger条件可以得到$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$,但是由反证假设$|f(x)-A|\geq\varepsilon_0,$产生了矛盾。故此我们完成了由弱证强的问题。

3.4.2. Heine定理的应用

类似子列性质的推论，若$\exists\{x_n'\},\{x_n''\}\subset U_0(x_0)$且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n'=x_0,\lim\limits_{n\to\infty}x_n''=x_0,$有$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n')=B,\lim\limits_{n\to\infty}x_n''=C$且$B\not=C$或$\{x_n\}$满足收敛但$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)$不存在

例
证明：$\lim\limits_{x\to0^+}\sin{\frac{1}{x}}$不存在
证：取$x_n'=\frac{1}{2n\pi}>0,\,$$x_n''=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}>0$

3.5. 无穷量与无穷量的阶

在函数定义的语境之下，我们已经很清楚地了解到趋近于某一个确定的值的极限是什么样的。所以我们可以利用0来构造无穷小量的定义。

3.5.1. 无穷小量和无穷小量的阶

3.5.1.1. 无穷小量

定义若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,$称$f(x)$当$f(x)$当$x$趋于$x_0$时是无穷小量。

例 $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,$称$\frac{1}{x}$当$x\to\infty$时是无穷小量。
定理 (无穷小和极限的关系)若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,$(A$为有限常数$)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\,$其中$\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0,\,$
证明略。

无穷小的用途：表征极限，等价量代换，导数，积分，无穷级数。

3.5.1.2. 无穷小量的性质

$1^。$有限个无穷小量相加减仍然是无穷小量。
- $Tips$:一般来说：有限个成立的定理，在无限情况下不成立。
$2^。$有限个无穷小量之积仍然是无穷小量。
- 无限个时等于0.

在给出第三条性质之前必须要说明有界量的定义。

若$\exists\delta_0>0,\exists M>0,$当$x\in U_0(x_0,\delta_0)$时，都有$|f(x)|\leq M$($M$为常数)，即$f(x)$在$U_0(x_0,\delta_0),$则称$f(x)$当$x\to x_0$时是有界量。
若$f(x)$是有界函数，则$\forall x_0\in\mathbb{D}$处有界，$f(x)$是有界量。

$3^。$有界量与无穷小量之积仍然是无穷小量
说明对有界量不能任意使用乘积的运算法则。例如$\sin\frac{1}{x}$在$x\to 0^+$有界但是无极限。

证明：
由定义$\exists\delta_0>0,$当$0<|x-x_0|<\delta_0，$$|f(x)|\leq M,$$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0,\forall\varepsilon>0,\exists\delta_1>0,$当$0<|x-x_0|<\delta_1$时都有$|g(x)-0|<\varepsilon,$从而取$\delta=min(\delta_0, \delta_1),$当$0<|x-x_0|<\delta$时都有$|f(x)|\leq M, |g(x)|\leq\varepsilon,$故当$0<|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)g(x)-0|=|f(x)g(x)|<M\cdot\varepsilon.$

推论有界函数与无穷小量之积仍是无穷小量。

$\color{#FF0000}{例误}$ $\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{\sin x}{x}}=1?\cdots=0$

3.5.1.3. 无穷小量的阶

为了解决无穷小量相除的问题，我们提出无穷小量的阶。
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$:

$1^。$$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0,$则称$f(x)$当$x\to x_0$是$g(x)$的高阶无穷小量。记作$f(x)=o(g(x))(x\to x_0),\,$故有$\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{o(g(x))}{g(x)}}=0.$
- 例证明：$o(x^3)-o(x^4)+o(x^4)-2o(x^8)$无穷小量的最高阶数是3
\[\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to 0}\frac{o(x^3)-o(x^4)+o(x^4)-2o(x^8)}{x^3}\\ =&\lim\limits_{x\to 0}[\frac{o(x^3)}{x^3}-\frac{o(x^4)}{x^4}\cdot x+\frac{o(x^4)}{x^4}\cdot x-2\cdot\frac{o(x^8)}{x^8}\cdot x^5]\\ =&0. \end{aligned}\]
验证发现，对$x^4$会出现$\frac{1}{x}$的结构，从而得到0。
$2^。$若$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=C$($C$为常数，$C\not=0$),则称$f(x)$为$x\to x_0$时是$g(x)$的同阶无穷小量，特别地，当$C=1$时，$f(x)$与$g(x)$等价无穷小，记作$f(x)\sim g(x)(x\to x_0)，$对一般的$C$可以记作$f(x)\sim C\cdot g(x).$

3.5.2. 无穷大量和无穷大量的阶

为什么要研究无穷大？
为了解决无穷小量作分母的式子的含义。

3.5.2.1. 无穷大量

定义 $f(x)$在$U_0(x_0,\delta_0)$处满足$f(x)\not=0,$若$\lim\limits_{x\to x_0}=0,$则称$f(x)$当$x\to x_0$时是无穷大量。记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty.$

这个定义建立在无穷小的基础上，从而我们可以使用类似的思路，$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=0,\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\,s.t.\delta \leq\delta_0$当$0<|x-x_0|<\delta$时，都有$|\frac{1}{f(x)}|<\varepsilon.\Leftrightarrow |f(x)|>\frac{1}{\varepsilon}\xlongequal{记为}M。$从而我们定义了无穷大量。去掉绝对值还可以定义正负无穷大量。

例
证明$\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^k}=+\infty$：
$\forall\varepsilon>0,$若要有
$\frac{1}{x^k}>M\Leftrightarrow x^k<\frac{1}{M},\Leftrightarrow x<{(\frac{1}{M})}^{\frac{1}{k}}。$取$\delta={(\frac{1}{M})}^{\frac{1}{k}}$即可。
定理
- $(i)$若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$则$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=0.$
- $(ii)$若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0,$且$\exists\delta_0,$当$x\in U_0(x_0, \delta_0)$时，$f(x)\not=0,$则$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=\infty.$
- 为什么要在第二条里加限制？
  例如$\lim\limits_{x\to x_0}0=0,$但它不是无穷小量。$\frac{1}{0}$无意义。
现在就可以来解决多项式函数相除的无穷大问题了。
由于$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{Q_m(x)}{P_n(x)}=0,}$故而$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\infty.$

3.5.2.2. 无穷大量的性质

两个无穷大相加不一定是无穷大。
$1^。$有限个无穷大之积仍是无穷大。
$\color{#FF0000}{反例？}$（留待一致收敛解决）

\[\begin{aligned} 1,2,3,4,5\cdots\\ 1,\frac{1}{2^2},3,4,5\cdots\\ 1,1,\frac{1}{3^3},4,5\cdots\\ 1,1,1,\frac{1}{4^4},5\cdots\\ \end{aligned}\]

乘在一起甚至收敛。

$2^。$有界量和无穷大量之和仍是无穷大量
推论：若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$
- $\color{#FF0000}{反例}$ 有界量和无穷大量之积可能不是无穷大量。

$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=C，$则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=\infty$

$3^。$有界函数和无穷大量之和仍是无穷大量。

由$3^。$，我们还能得到：
$4^。$若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=C($常数$，C\not=0)$, $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0,\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty.$

推广若$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1,$称$f(x)$当$x\to x_0$时是$g(x)$的等价量，且这种等价具有传递性。

例
$\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=A($常数，且$\not=0),$则$f(x)\sim A.$

说明：等价在广义极限存在的情况下才有意义。无穷大对应的广义极限算一种“坏好人”。比无界等概念强，例如以下论断不正确：
若$f(x)$在$x_0$的任意空心邻域内无界（可以是大起大落的无界，$y=\sin\frac{1}{x}$），则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty.$

3.5.2.3. 无穷大量的常见比较

对数列极限：
当$n\to\infty$时，

\[\ln^{\alpha}n\ll n^{\beta}\ll a^n\ll n!\ll n^n. \]

其中$\alpha>0,\beta>0,a>1.$

对函数极限：
当$x\to\infty$时，

\[\ln^{\alpha}x\ll x^{\beta}\ll a^x \]

其中$\alpha>0,\beta>0,a>1.$

3.5.3. 等价量替换定理

若当$x\to x_0$时，$f(x)\sim f_1(x), g(x)\sim g_1(x), h(x)\sim h_1(x)$且$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)}=A/\infty/$不存在。则$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f_1(x)\cdot g_1(x)}{h_1(x)}=$$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f_1(x)\cdot g_1(x)}{h_1(x)}\cdot\frac{f(x)}{f_1(x)}\cdot\frac{g(x)}{g_1(x)}\cdot\frac{h_1(x)}{h(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)}=A/\infty/$不存在

当且仅当求分式极限时，可以把（分子分母中的）复杂因式用它们的（形式简单的）等价因式进行替换，所得极限不变。幂指数结构都不能替换。

$\color{#00FFFF}{注意：}$分子分母中带有加减项的不能任意替换。下面给出两个可以替换的情形：
$1^。$若$\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,$且$\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}\not=1,$则$\alpha-\beta\sim\alpha_1\beta_1.$
$2^。$若$\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,$且$\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\not=-1,$则$\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1$.
摸鱼法证明第一条。
- \[\lim\frac{\alpha-\beta}{\alpha_1-\beta_1}=\lim\frac{\beta(\frac{\alpha}{\beta}-1)}{\beta_1(\frac{\alpha_1}{\beta_1}-1)}=\lim\frac{\beta}{\beta_1}\cdot\frac{\lim(\frac{\alpha}{\beta}-1)}{\lim(\frac{\alpha_1}{\beta_1}-1)} \]
  欲使这个极限有意义，必然需要$\frac{\alpha}{\beta}\not= 1$。
例 cj.p18.ex25(2009II)

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-\cos x)[x-\ln(1+\tan x)]}{\sin^4 x}\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2[(x-\tan x)+(\tan x-\ln (1+\tan x))]}{x^4}\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x-\tan x}{x^2}+\frac{\tan x-\ln(1+\tan x)}{x^2}\right)\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{-\frac{1}{3}x^3}{x^2}+\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}\right)\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot\left(0+\frac{1}{2}\right)\\ =&\frac{1}{4} \end{aligned}\]

$\color{#00FFFF}{思考：}$为什么此处可以使用插项方法？作图之后我们可以发现，$y=\ln(1+\tan x)$和$y=\tan x$的图像在$y=x$的两侧，直接将它们等价于$y=x$则显而易见地忽略了本来不大的占主导因素的间隙。但我们通过这个插项，将它们之间的间隙有效地二分计算出来。

性质（极限四则运算的存在性中最常用的一条性质jc.p19）若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$不存在，$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=C\not=0$则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)$不存在。
反证：假设存在极限记为$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=b,$$\Rightarrow\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)\frac{1}{g(x)}=\frac{b}{C},$从而与题设矛盾。

从这个性质中我们可以归纳出可以分步求出某部极限的条件：极限不为零的因子可以先求出极限。

3.6. 判断函数极限的准则

同样有夹逼定理：

若$\exists\delta_0>0,$当$0<|x-x_0|<\delta_0$时都有$f(x)\leq h(x)\leq g(x)$(规定极限条件下的大小关系)，且$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=A,$那么$\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A.$
例
求$\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot[\frac{1}{x}]$
解：利用$1=x\cdot\frac{1}{x}\leq x\cdot[\frac{1}{x}]<x\cdot (\frac{1}{x}+1)=1+x.$

函数的单调有界定理（不要求）

3.7. 两个重要函数极限

$1^。$
$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin x}{x}=1;$
$2^。$
$\lim\limits_{x\to x_0}{(1+\frac{1}{x})}^x=e.$
一般的，先把两侧逼近换成单侧逼近，分部解决。
尝试提公因式化简；
利用夹逼定理找到极限。

3.7.1. 多项式和三角的关系

对$1^。$$x>0$时，利用面积法得到$\sin x<x<\tan x$,$\cos x<\frac{\sin x}{x}< 1$,右式已经很方便操作了。

利用这个现成结果，我们可放缩得到$\cos$的的不等式。$1-\cos x=2\sin^2x<2\cdot{(\frac{x}{2})}^2=\frac{x^2}{2}.$即$\cos x>1-\frac{x^2}{2}.$我们又得到了下界，从而夹逼得证。

对于$x<0$的情况。利用变量代换。$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{\sin(-t)}{-t}=\lim\limits_{t\to0^+}\frac{\sin(t)}{t}.$

在求证三角函数的连续性之前，我们利用这个夹逼，同时也求出了$\lim\limits_{x\to0}\cos x=1。$

对于这个重要极限，我们还可写成一般形式：若$f(x)\to0,$且$f(x)\not=0,$则$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin f(x)}{f(x)}=1$

对$x$和$\sin x$我们还有以下不等式$|\sin x|\leq|x|$,当且仅当$x=0$时取等。
利用以上极限，我们还可以得到：$\tan x\sim x$，$1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2.$

3.7.2. 多项式和$e$的关系

对$2^。$，作以下证明。

$\lim\limits_{x\to\infty}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$对$x\in\mathbb{N}$时结论已经成立。

先讨论$x\to+\infty,$不妨设$x\geq1,[x]\in\mathbb{N},$
由

\[\begin{aligned} [x]\leq &x<[x]+1\\ \frac{1}{[x]+1}<&\frac{1}{x}\leq1+\frac{1}{[x]}\\ {(1+\frac{1}{[x]+1})}^x<&{(1+\frac{1}{x})}^x\leq{(1+\frac{1}{[x]})}^x(幂函数单增)\\ {(1+\frac{1}{[x]+1})}^{[x]}<&{(1+\frac{1}{x})}^x<{(1+\frac{1}{[x]})}^{1+[x]}(高斯函数的特性，指数函数的单增性)\\ \end{aligned}\]

而$\lim\limits_{x\to+\infty}{(1+\frac{1}{[x]+1})}^{[x]}\xlongequal{[x]=n}\lim\limits_{n\to+\infty}{(1+\frac{1}{n+1})}^n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{{(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}\left(=\frac{e}{1}\right)=e.$
同理得：上界也可以变换出$e\cdot 1=e,$夹逼得证。
对$x\to -\infty$利用先前结果$\lim\limits_{x\to-\infty}{(1+\frac{1}{x})}^x \xlongequal{令x=-t}\lim\limits_{t\to+\infty}{(1-\frac{1}{t})}^{-t}=\lim\limits_{t\to+\infty}{(1+\frac{1}{t-1})}^{t-1}\cdot(1+\frac{1}{t-1})=e.$故得证。

一个更有价值的结论($1^\infty$型无穷)
对$f(x)\to0(x\to x_0)$,则$\lim\limits_{x\to x_0}{(1+f(x))}^{\frac{1}{f(x)}}=e.$

例
- $1^。$ $\lim\limits_{x\to0}{(1-3x)}^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to0}{\{{[{1+(-3x)}]}^{\frac{1}{3x}}\}}^{-3}=e^{-3}$
- $2^。$ $\lim\limits_{x\to0}{(\cos x)}^{\frac{1}{1-\cos x}}=\lim\limits_{x\to0}{\{{[1+(\cos x-1)]}^{{\frac{1}{\cos x-1}}}\}}^{-1}=\frac{1}{e}.$

3.8. 函数连续

函数极限的定义来自于空心邻域的取值趋势，那如果我们将中心点纳入讨论范围，自然地我们展开了对该点的连续性的研究。这是极限求算的重要理论基础。

3.8.1. 函数连续的三种定义

$1^。$(将中心点加入极限定义：空心变实心，差量可为0)：
设对函数$f(x)，\exists\delta_0>0,s.t.$在$U(x_0,\delta_0)$中有定义。$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,(\delta\leq\delta_0),$当$|x-x_0|<\delta$时都有$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon，$称$y=f(x)$在$x=x_0$处连续。（特殊的极限）
$2^。$
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(\lim\limits_{x\to x_0}x),$由于已知$x$的分布是一种数轴连续分布，从而也可写作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$
$3^。$
一种新的定义形式
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=0,$定义$\Delta x=x-x_0$为自变量的增量，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$称为因变量的增量，则原式可以记为$\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0.$

3.8.2. 左连续和右连续

只定义右连续:$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$
再定义左连续后，可以类似极限提出一个充分必要条件：左右连续则该点连续。

3.8.3. 间断点与间断点的分类

定义：若$y=f(x)$在$x=x_0$的某去心邻域有定义，且在$x=x_0$处不连续，则称$x=x_0$为间断点。

分析知：连续点满足以下三个条件：

$1^。$$x_0\in\mathbb{D}(f)$.
$2^。$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在.
$3^。$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
违背其中任意一条就是间断点。

间断点的分类：

$1^。$（违背1/3，不违背2）
若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在，但$x=x_0$处为间断点，称为$x=x_0$处的可去间断点。（极限存在与该点的值不同，可以通过改变这一点的值使得在该点连续）
$2^。$（违背2的其中一种情况，3也不成立，1无所谓）左右极限存在但不相等。
记

\[\begin{cases} &\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0^+)\\ &\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0^-)\\ \end{cases}\]
但是$f(x_0^+)\not=f(x_0^-),$称$x=x_0$是跳跃间断点。$|f(x_0^+)-f(x_0^-)|$称为跳跃度。
$3^。$（违背2的另一种情况）左右极限至少有一个不存在。
其中，若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty,x=x_0$则称$x=x_0$是无穷间断点。
例
证明：$f(x)=\sin x\in C(\mathbb{R}):$ $\forall\varepsilon>0,$若要$|\sin x-\sin x_0|<\varepsilon$成立，$|\sin x-\sin x_0|=|2\cos{(\frac{x+x_0}{2})}\cdot\sin{(\frac{x-x_0}{2})}|\leq2\cdot|\frac{x-x_0}{2}|=|x-x_0|.$只要取$\delta=\varepsilon,$则当$|x-x_0|<\delta$时就有$|\sin x-\sin x_0|\leq|x-x_0|<\varepsilon.$同理可以证明$\cos x$在$\mathbb{R}$上连续。

3.8.4. 连续的性质

$1^。$（局部有界性）若$f(x)$在$x_0$处连续，则$\exists\delta_0>0,$当$x\in U(x_0, \delta),$都有$|f(x)|\leq M$（$M$为常数）。（这个性质由定义1是显然的）
$2^。$（保序性）若$f(x),g(x)$在$x_0$处连续且$f(x_0)<g(x_0),\exists\delta_0>0,$当$x\in U(x_0,\delta_0)$时，都有$f(x)<g(x).$
- 推论（保号性）若$f(x)$在$x_0$处连续且$f(x_0)=0,$对任何$0<\eta<f(x_0), \eta$为常数，$\exists\delta>0,s.t.$当$x\in U(x_0,\delta)$时$f(x)>\eta>0.$
$3^。$(四则运算性质)若$f(x),g(x)$在$x_0$处均连续，则$f(x)\pm g(x),f(x)\cdot g(x),C\cdot f(x),\frac{f(x)}{g(x)}.$在$x_0$处都连续。

3.8.5. 初等函数的连续性

3.8.5.1. 几种初等函数连续性说明

$1^。$$y=C,（C$为常数$），$在$\mathbb{R}$上显然连续。
$2^。$由$y=\cos x,y=\sin x$在$\mathbb{R}$上连续，利用四则运算的性质可得$y=\tan x, y=\cot x, y=\csc x, y=\sec x$在相应的定义域上连续。
$3^。$$y=a^x,$可以证明连续:$x_0\in\mathbb{R},\lim\limits_{\Delta x\to 0}(a^{x+\Delta x}-a^x)=a^{x_0}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to0}(a^{\Delta x}-1)=0.$
$4^。$利用反函数的连续性定理得到$y=\log_ax$和众多反三角函数在定义域连续。
$5^。$利用复合函数连续性定理，得$x^a=e^{a\ln x}$是连续的。

3.8.5.2. 复合函数的连续性定理

若$u=\varphi(x),$在$x=x_0$处连续，$y=f(x)$在$u=u_0=\varphi(x_0)$处连续，则复合函数$y=f(\varphi(x_0))$在$x=x_0$处连续.
证：由$y=f(u)$在$u=u_0=\varphi(x_0)$处连续，$\forall\varepsilon>0,$当$|u-u_0|<\delta,$都有$|f(u)-f(u_0)|<\varepsilon,$而由$\varphi(x)$在$x_0$处连续，对上述$\delta>0,\exists\delta_1>0,$当$|x-x_0|<\delta_1$时都有$|\varphi(x)-\varphi(x_0)|<\delta,\Rightarrow|u-u_0|<\delta$(分析+综合法)知$f(\varphi(x))$在$x=x_0$处连续，而$\lim\limits_{x\to x_0}f(\varphi(x))=f(\varphi(x_0))$
另外可以写作$\lim\limits_{x\to x_0}f(\varphi(x))=f(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)).$

推论若$\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=u_0(u_0$是常数$)$且$y=f(u)$在$u=u_0$处连续，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(\varphi(x))=f(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)).$
证：令

\[h(x)= \begin{cases} \varphi(x),&x\not= x_0,\\ u_0,&x=x_0\\ \end{cases} \]

知$h(x)$在$x=x_0$处连续，$y=f(u)$在$u=u_0=h(x_0)$处连续，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(h(x))=f(\lim\limits_{x\to x_0}h(x))$,而极限本身是有关一个空心邻域，原问题得证。

3.8.5.3. 初等函数连续性定理

$1^。$六种基本初等函数在定义域内每一点处都连续。
$2^。$初等函数在定义域区间上的每一点都连续。

$\color{#00FFFF}{思考：}$为什么是区间上？
- $\color{#FF0000}{反例}$ $y=\sqrt{\cos x-1}$是由$y=\sqrt u$与$y=\cos x-1$经过一次复合得到，知$y=\sqrt{\cos x-1}$是初等函数。而其定义域为$\{x\in\mathbb{R}|x=2k\pi,k\in\mathbb{Z}\},$在每一个离散的点处不连续。

已知连续性后，我们就可以对特定点处的极限直接求解。

\[\begin{aligned} &\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x}\\ \color{#FF0000}=&\color{#FF0000}{\lim\limits_{x\to0}\frac{x-x}{\sin^3x}}=0(加减误用)\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\sin^3x\cdot\cos x}\\ =&\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3\cdot1}=\frac{1}{2}\\ \end{aligned}\]

这个方法如果没有$\cos x$函数的连续性就是不严谨的。

3.8.6. 连续的几个宏定义

如果$f(x)$在开区间$(a,b)$内每一点都连续（双侧连续），则称$f(x)$在开区间$(a,b)$上连续。
如果$f(x)$在开区间$(a,b)$内每一点都连续，且在$x=a$处右连续，在$x=b$处左连续，称$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续。

如果$f(x)$在区间$I$上连续，在$I$上曲线称为连续曲线。

3.8.7. 闭区间上连续函数的性质

3.8.7.1. 最值定理：

若$f(x)\in C[a,b],$则称$f(x)$在$[a,b]$上一定能取到最大值$M$和最小值$m，$即$\exists x_1, x_2\in[a,b]s.t.f(x_1)=M, f(x_2)=m.$且$\forall x\in[a,b],$均有$m\leq f(x)\leq M.$

推论 $1^。$：若$f(x)\in C[a,b],$则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
推论 $2^。$：若$f(x)\in C[a,b],$则$R(f)\in[m, M].$

3.8.7.2. 介值定理

介值定理：若$f(x)\in C[a,b]$且$f(a)\not=f(b),$则对于$f(a)$和$f(b)$之间的任一常数$C$，至少存在一点$\xi\in(a,b)$使得$f(\xi)=C.$与零点存在性定理互证。
零点存在性定理：若$f(x)\in[a,b]$且$f(a)\cdot f(b)<0,$则$\exists\xi\in(a,b)s.t.f(\xi)=0.$
例
证明：$x-\varepsilon\sin x=1$仅有一个实根，其中$\varepsilon$是常数，$0<\varepsilon<1。$
证：令$f(x)=x-\varepsilon\sin x-1,$先证明$f(0)=-1<0,f(2)=2-\varepsilon\sin2-1=1-\varepsilon\sin2>0.$所以根存在。
$\xi\in(0,2)\subset\mathbb{R}\,s.t.f(\xi)=0.$假设$\exists x_1, x_2\in\mathbb{R},$且$x_1, x_2$有

\[\begin{aligned} &x_1-\varepsilon\sin x_1-1=0\qquad(1)\\ &x_2-\varepsilon\sin x_2-1=0\qquad(2) \end{aligned} \]

$(1)-(2)：$$|x_1-x_2|=|\varepsilon(\sin x_1-\sin x_2)|=\varepsilon|\sin x_1-\sin x_2|=2\cdot\varepsilon|\cos\frac{x_1+x_2}{2}\sin \frac{x_1-x_2}{2}|\leq 2\varepsilon|\sin\frac{x_1-x_2}{2}|\leq\varepsilon|x_1-x_2|，$相消得：$1\leq\varepsilon<1.$发生矛盾。

3.9. 11个重要极限

求解原则：

等价量代换（分式极限才可）
一次求完极限（分步违背了“公平原则”）
求完极限后，可以利用同阶无穷小量的倍式等价结构作为进一步的求解的定理。

\[\begin{aligned} 1^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\\ \\ 2^。&\lim\limits_{x\to0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e\\\ \\ 3^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.\\\ \\ 4^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\\\ \\ 5^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\\=&\lim\limits_{x\to0}\ln{(1+x)}^{\frac{1}{x}}\\=&\ln e=1.\\\ \\ 6^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\xlongequal{x=\ln(1+u)}\lim\limits_{u\to 0}\frac{u}{\ln(1+u)}\\=&\lim\limits_{u\to0}\frac{u}{u}=1.\\\ \\ 7^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x\ln a-1}}{x}\\=&\lim\limits_{x\to0}\frac{x\ln a}{x}=\ln a.\\\ \\ 8^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{{(1+x)}^a-1}{x}\\=&\lim\limits_{x\to0}\frac{a\ln(1+x)}{x}=a.\\\ \\ 9^。&\lim\limits_{x\to0}u(x)=a,(a为常数)),\lim\limits_{x\to x_0}v(x)=b,(b为常数).则：\\ &\lim\limits_{x\to x_0}{u(x)}^{v(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}e^{v(x)\ln u(x)}\xlongequal{利用\ln x,e^x的连续性}a^b. \\\ \\ 10^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}\xlongequal{x=\sin t}\lim\limits_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{t}{t}=1.\\\ \\ 11^。&\lim\limits_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}\xlongequal{x=\tan t}\lim\limits_{t\to0}\frac{t}{\tan t}=1.\\\ \\ \end{aligned}\]

Honour Van

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Part 1 函数、极限与连续