有关定义域
|| 一元函数的定义域是实数轴上的点集，二元函数的定义域是坐标平面上的点集
|| 平面内点A的领域：一般泛指A的方邻域和A的圆邻域
|| 点与点集的关系，按照位置关系可以分为：内点，外点，界点
- 内点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)包含于E，则称A为E中的内点。E中所有的内点的集合称为E是内部，记作int E
- 外点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)∩E=空集，则称A为E中的外点。
- 界点：若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)中既含有E中的点也含有E外的点，则称A为E中的界点。E的所有的界点的集合称为E的边界。记作∂E
E的界点可能属于E，也可能不属于E，不能说界点就只是点集边界上的点
|| 点和点集的关系，按照密集关系可以分为：聚点，孤立点
- 聚点：若任何点A的空心邻域U(A)，都含有E中无穷多个点，则称A为E的聚点 —>类似内点+某些界点
- 孤立点：若A属于E，但不是E的聚点，即U(A) ∩E=空集，则称点A是E的孤立点
|| 两种类型的点之间的关系：
- 聚点 = 所有内点+非孤立的界点
- 孤立点 = 孤立的界点
- 非聚点非孤立点 = 外点
|| 由定义域内的点与点集的关系，定义一些重要的平面点集：
- 开集：若定义域内的所有点都属于E中的内点，则称E为开集
- 闭集：若定义域内的所有聚点都属于E（在e中），则称E为闭集，若点集E没有聚点，也称之为闭集
- 开域：非空连通开集（连通性：E中任意两点都可以用一点完全含于E的有限折现连接）
- 闭域：带边界的非空连通开集
- 区域：开域和闭域，和开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域
全部由><号包围起来的点集为开集
全部由≥≤号包围起来的点集为闭集
半开半闭的点集为非开非闭集（注意不是又闭又开集）
R^2 和 空集，时唯二的又开又闭集
|| 其他关于有界点集的定义：
- 包含关系：对于某一平面E，若存在某一个正数r，使得 E包含于U(O, r)，则称E为有界点集。 (其中O是固定点)
- 距离关系：点集E的直径dE（dE = sup d(p1,p2) — 距离最远的两点的距离）为有限值，则称E为有界点集。
点集有关定义定理
|| 定义1：点列收敛定义
设{Pn} 包含于R, 为平面点列，P0属于R 为一固定点。若对任给正数ε，存在正整数N，使得当n大于N时，有Pn属于U(P0, ε), 则称点列{Pn}收敛于P0。
记作：
|| 定理1：柯西准则，点列收敛的充要条件
任给正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，对一切的正整数p（距离)
|| 定理2：闭域套定理( 避孕套定理???!!)
设{Dn}是R中的闭域，它满足：
则存在唯一的点P0∈Dn，n=1，2，3…
|| 定理3：聚点定理
设E为有界无限点集，则E在R上至少有一个聚点
（通过闭域套定理证明）
定理3的推论：
有界无限点列{Pn} ，必存在收敛子列{Pn}
|| 定理4：有限覆盖定理
二元函数
|| 定义2：二元函数的定义
设平面点集D，若按照某种对应法则f，D中每一个点P(x, y)都有一个唯一确定的实数z与之对应，则称f为定义在D上的二元函数（或D到R的一个映射），记作： f:D --> R
p的坐标值x，y为函数的因变量
|| 二元函数可以被分为有界函数和无界函数（同一元函数），其充要条件为：
二元函数的极限
|| 定义一：二元函数重极限的定义（正常极限）
设f为D上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数，若给定任意正数ε，总存在某正数δ，使得当P∈U(P0, δ) ∩ D时，都有|f§ - A| < ε, 则称 f 在D上当P->P0时以A为极限，记作
|| 定理5：在子集上的极限连续
- 定理5的推论1：子集极限的不存在
设E1包含于D，P0是E1的聚点，若 f 在E1上P ->P0的极限不存在，那么 f 在D上P->P0的极限也不存在 - 定理5的推论2：子集极限的存在但不等
设E1，E2包含于D，P0是E1，E2的聚点，若在E1,E2上P ->P0的极限存在但不相等，那么f 在D上P->P0的极限不存在 - 定理5的推论3：关于定义域D中某个点列(子集)的充要条件
f 在D上P->P0的极限存在的充要条件为：对于D中任一满足条件Pn != P0且当n->∞时等于P0的点列{Pn}，它对应的数列{f（Pn）}收敛
|| 定义二：二元函数重极限的定义（非正常极限 ∞）
二元函数f 的定义域为D，P0为其中的一个聚点，若对任给正数M，总存在某正数δ，使得当P∈U(P0, δ) ∩ D时, 都有f ( P) >M，则称f在D上当P->P0时，存在非正常极限+∞，记作
|| 定义三：二元函数累次极限的定义
|| 定理6：累次极限和重极限间的关系
若f(x，y) 中重极限和任一个累次极限(先x后y/先y后x)同时存在，则它们必相等
- 定理6的推论1：
若f(x，y) 中重极限和两个累次极限三者同时存在，则它们必定相等 - 定理6的推论2：
若f(x，y) 中两个累次极限存在但是不相等，则重极限不存在
（注意：累次极限不存在时对重极限并无影响）
二元函数的连续性
定义一：二元函数在某点上连续性定义
设f为定义在点集D包含于R上的二元函数，P0∈D（D的聚点或者孤立点）。对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要P∈U（P0，δ）∩D，有：
等价于：
则称 f 关于D上在P0上连续
|| 定义二：二元函数在D上连续性定义
若f在D上的任何点都关于集合D连续，则称f为D上的连续函数
|| 定理7：复合函数的连续性
若函数A = a(x,y)，B = b(x,y)连续，则f(A, B)连续
|| 定理8：有界性和最大最小值定理
若f 在有界闭域D上连续，则f 在D上有界，且能取得最大最小值
|| 定理9：一致连续性定理
若f 在有界闭域D上连续，则f 在D上一致连续（即对于任给的正数ε，总存在相应以ε为自变量的正数δ，只要距离d(P, Q)<δ，有：| f§ - f(Q) | < ε (相邻则相同?))
|| 定理10：介值性定理
设f 在 D上连续，P1,P2为D上两点，且f(P1) < f(P2)，则对于任何满足f(P1) < u < f(P2) 的实数u，必存在点P0∈D，使得f(P0) = u。
总结：若f连续，则f 符合函数连续，具有介值性，若 f 在有界闭域上仍连续：则f具有有界性，一致连续性
