高等数学阶段复习, 函数极限, 连续, 导数,微分

高等数学(上):

复习

     极限

1. 极限定义:
   1. 形式: ζ-δ语言, ζ-N语言来描述
      1. 数列的极限.
      2. 函数的极限
   2. 收敛数列的性质:
      1. 收敛数列的唯一性, 收敛数列的有界性, 收敛数列的保号性.
2. 函数的定义, 自变量, 因变量, 定义域, 值域, 对应法则(f).
   1. 映射, 对应关系.
   2. 反函数与符合函数.
   3. 基本初等函数和初等函数概念和性质.
   4. 函数的性质:
      1. 有界性, 奇偶性, 单调性, 周期性.
   5. 函数极限的定义和性质:
      1. 函数极限的唯一性, 函数极限的有界性, 函数极限的局部保号性.
3. 无穷小与无穷大.
   1. 定义.
4. 极限运算法则
   1. 两个无穷小的和是无穷小.
      1. 有限个无穷小的和.
   2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
      1. 常数与无穷小
      2. 有限个无穷小的乘积
   3. 极限的四则运算:
      1. 加减乘除
      2. 复合函数的极限运算法则.
5. 极限存在准则, 两个重要极限:
   1. 夹逼准则, 单调有界数列必定有极限.
   2. 两个重要极限, limx→0sinxx=1, limx→01+x1x=e
6. 无穷小的比较:
   1. 无穷小比较的种类: 高阶无穷小, 低阶无穷小, 同阶无穷小, k阶无穷小, 等价无穷小.
   2. 常见的等价无穷小的例子. sinx~x….
   3. 等价无穷小求极限的使用条件限制: 必须为乘除, 加减不能用.
7. 函数的连续性和间断点, 左连续, 有连续,
   1. 连续性定义:
      1. lim∆x→0fx0+∆x-fx0=0, 即lim∆x→0∆y=0, limx-x0fx=f(x0)
      2. 间断点的类型, 第一类(2种), 第二类(多种).常见的间断点.
   2. 初等函数的连续性, 函数的和差积商的连续性, 复合函数和反函数的连续性.
8. 闭区间连续函数的性质
   1. 最值定理. 有界定理, 介值定理和零点定理.

导数

         导数定义, 集合意义.单侧导数, 可导与连续之间的关系.求导法则.

         函数的微分的定义, 什么叫做可微.微分的几何意义.微分运算法则.