高数第一章函数、极限、连续part1

函数极限连续

函数

知识点：

函数的概念和基本形态
1. 基本概念：定义域 & 对应法则
  1. 符号函数
  2. 取整函数：函数值为不超过变量的最大整数，阶梯型
  3. 复合函数：需要外函数的定义域和内函数的值域交集不为0
  4. 反函数：定义：函数指向的y值有唯一确定的x值，则具有反函数
    
    单调函数一定有反函数，反之则不对（不连续的非单调函数也可以有反函数）
    
    f是一映射是有反函数的充要条件
    
    x对应的函数值的反函数，即:f-1(f(x)) == x
2. 基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数：主要考察
  
  arctan函数的性质，奇函数，定义域为R，值域为-π/2 ~π/2,有界
  
  初等函数：由基本初等函数加减乘除运算或复合得到的函数，并且只有一个表达式
函数的性质
1. 单调性
2. 奇偶性：定义域必须关于原点对称，奇偶函数
  
  常见奇函数：(e^x-1)/(ex +1)，In[(x-1)/(x+1)]，In(x+√x^2+1),f(x) - f(-x)
  
  常见偶函数：f(x) + f(-x)
  
  奇函数：如果在0点有定义，则0点的值一定为0，如果一个函数在0点值不为0，则一定不是奇函数
3. 周期性：最小正周期为周期；
  
  sinx^3的周期为2π
  
  sinx^2的周期为π
  
  f(x)的周期是T；则f(ax + b)的周期是T/|a|
4. 有界性：任意函数值，都存在一个数大于函数值的绝对值
  
  常见有界函数：arcsin,arccos定义域是(-π/2 - π/2),(0,π)
  
  确定有界性一定要规定是在什么范围，如果没说就默认是定义域内

考题：

函数的性质
复合函数

重点：函数的四大基本形态

极限

考试内容概要

极限的概念
极限的性质
极限的存在准则
无穷小
无穷大

考试类型

极限的性质概念和存在准则（选择题）
求极限（计算题，方法类）
无穷小量的比较

数列极限

定义
几何意义
极限只与后n项有关
部分序列的极限，如奇偶序列的极限必须一致，才能说数列有极限

lim x -> 0 x= a是lim |x| ->a的充分不必要条件

如果极限值为0，则其绝对值的极限也为0

函数极限

定义：

数列极限无穷默认是正无穷

函数极限无穷默认是绝对值趋向正无穷

因为定义中是x0的去心邻域，所以函数极限无法取到该值，所以函数极限与函数值无关

变量无法等于该点，但函数本身的极限可以等于

如果处在分母，在x0的去心邻域内，必须不存在不等于0的点

左右极限

左右极限都存在并且相等，极限才能存在

使用左右极限的场景：

两侧函数表达式不同
e^(无穷)

e^(+无穷) = 无穷

e^(-无穷) = 0
arctan(无穷)

arctan(+无穷) = π/2

arctan(-无穷) = -π/2

函数极限的性质

有界性

定义：如果数列收敛，则数列一定有界

原因：根据收敛则证明一定有极限，即为N项以后的所有项都被限制在一定的范围之内，然后N项以前的项为有限项，有限项的值肯定为有界值；说明：数列收敛，则数列一定有界

函数有界性

局部有界
保号性

数列极限：

如果数列极限存在，如果极限值A>0,则存在N项以后的值都是xn>0；

极限值保数列值

tips：不能用等号原因是，如果极限值为0，则无法保证所有的项都落在一侧，有可能在0点两侧

如果N项以后都是>=0，则极限值也是>=0

数列值保极限值

tips：一定要加等号的原因是；虽然N项后都是大于0，但无法保证极限值不是等于0

函数极限类似

关键：数列极限的只能保当N充分大，函数极限只能保证x0的去心邻域内

使用排除法：

场景：出现一般函数
怎么用：使用具体函数进行排除

极限值和函数值

极限存在准则

一般考察数列极限

1）夹逼准则：适用于n项和

2）单调有界准则：一般适用于递推关系表达式的数列，问题的关键是证明单调有界

单调增证明上有界

单调减证明下有界

取整函数定义：取不超过x的最小整数，可以运用夹逼来进行运算

研究极限的两个极端

无穷小

概念：

性质：

有限个无穷小的和、乘积仍是无穷小

无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小

无穷大量：

无穷大量的比较：

函数极限：Inx << x^a << a^x

数列极限：Inx << x^a << a^x << x! << x^x

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