1. 背景
前段时间复习完了高数第一章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。
2. 极限的存在准则
2.1. 夹逼准则
若存在
N,当
n>N时,
xn≤yn≤zn ,且
n→∞limxn=n→∞limzn=a,则
n→∞limyn=a.
2.2. 单调有界准则
单调有界函数必有极限,即单调
增(减)有上(下)界的函数必有极限。
3. 常用的求极限方法(8种)
3.1. 方法1 用基本极限求极限
x→0limxsinx=1(1.1)
x→0lim(1+x)x1=e(1.2)
x→∞lim(1+x1)x=e(1.3)
x→0limxax−1=lna(1.4)
n→∞limnn
=1(1.5)
n→∞limna
=1,(a>0)(1.6)
x→∞limbnxn+bn−1xn−1+⋯+b1x+b0anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧bman,0,∞,n=mn<mn>m(1.7)
注:趋向于无穷时看高次项,趋向于0时看低次项
- “
1∞” 型极限常用结论
若
lima(x)=0,limβ(x)=∞,且
limα(x)β(x)=A,则
lim[1+α(x)]β(x)=eA
可以归纳为以下三步:
- 写标准形式:原式
=lim[1+α(x)]β(x);
- 求极限:
limα(x)β(x)=A;
- 写结果:原式
=eA.
3.2. 方法2 利用等价无穷小代换
- 常用的等价无穷小 当
x→0时
x∼sinx∼tanx∼arcsinx∼ln(1+x)∼ex−1(1.8)
(1+x)α−1∼αx(1.9)
ax−1∼xlna(1.10)
1−cosx∼21x2(1.11)
x−ln(1+x)∼21x2(1.12)
tanx−x∼31x3(1.13)
x−arctanx∼31x3(1.14)
x−sinx∼61x3(1.15)
arcsinx−x∼61x3(1.16)
1−cosαx∼2αx2(1.17)
1−[1+(cosx−1)]α∼α(1−cosx)∼2αx2
3.3. 方法3 利用有理运算法则求极限
3.4. 方法4 利用洛必达法则求极限
- 使用条件
- 若
f(x)n阶
可导
- 则洛必达法则可使用至求出
f(n−1)(x),即
f(x)的
n−1阶导数
- 若
f(x)有
n阶
连续导数
- 则洛必达法则可使用至求出
f(n)(x),即
f(x)的
n阶导数
- 若
f(x)n阶
可导
,且求出
f(n−1)(x)后极限仍为
00型
3.5. 方法5 利用泰勒公式求极限
- 定理(带Peano余项的泰勒公式) 设
f(x)在
x=x0处
n阶可导,则
f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(x0)(x−x0)n+o[(x−x0)n],x∈U(x0)(1.18)
特别是当
x0=0时,为麦克劳林公式
f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(0)xn+o(xn),x∈U(0)(1.19)
ex=1+x+2!x2+⋯+n!xn+o(xn)(1.20)
sin(x)=x−3!x3+⋯+(−1)n−1(2n)!x2n−1+o(x2n−1)(1.21)
cos(x)=1−2!x2+⋯+(−1)n(2n)!x2n+o(x2n)(1.22)
ln(1+x)=x−2x2+⋯+(−1)n−1nxn+o(xn)(1.23)
(1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯+n![α!/(α−n)!]xn+o(xn)(1.24)
3.6. 方法6 利用夹逼原理求极限
n→∞limna1n+a2n+⋯+amn
=max{ai}(1.25)
其中
ai>0,(i=1,2,⋯,m)
令
max{ai}=a,则
nan
<na1n+a2n+⋯+amn
<nman
n→∞limnan
=a
n→∞limnman
=a
根据夹逼准则
n→∞limna1n+a2n+⋯+amn
=max{ai}(1.26)
3.7. 方法7 利用单调有界准则求极限
a1+b12≤ab
≤2a+b≤2a2+b2
3.8. 方法8 利用定积分定义求极限(见第五章)
4. 函数的连续性
4.1. 连续的定义
设
y=f(x)在点
x0的某领域内有定义,若
x→x0limf(x)=f(x0)则称
f(x)在点
x0处连续。
若
x→x0−limf(x)=f(x0) ,则称$ y = f(x)
在点x_0$处左连续。
若
x→x0+limf(x)=f(x0) ,则称$ y = f(x)
在点x_0$处右连续。
函数
f(x)在点
x0处连续的充要条件是
f(x)在点
x0既左连续又右连续。
4.2. 间断点的分类
-
第一类间断点
- 定义:左右极限都存在的间断点成为第一类间断点
- 可去间断点
- 跳跃间断点
- 定义:左右极限都
存在
但不相等
的间断点成为跳跃间断点
-
第二类间断点
- 定义:左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点
-
无穷间断点
- 定义:若
x→x0−lim=∞ 或
x→x0+lim=∞, 则称
x0为
f(x)的无穷间断点
-
震荡间断点
- 定义:左右极限振荡不存在的间断点,叫做振荡间断点,其中振荡是不可以解出的答案,极限完全不存在,如
sinx1.
-
其他
注:在答题时,一般来说,第一类间断点需要说明是可去间断点还是跳跃间断点,如无特殊要求,第二类间断点只需要声明为第二类间断点。
4.3. 闭区间上连续函数的性质
- 最值定理
- 设
f(x)在闭区间
[a,b]上连续,则
f(x)在
[a,b]上必有最大值与最小值
- 有界性定理
- 设
f(x)在闭区间
[a,b]上连续,则在
[a,b]上必有界
- 介值定理
- 设
f(x)在闭区间
[a,b]上连续,且
f(a)=f(b),则对于任意介于
f(a)和
f(b)之间的数
C,至少存在一点
ξ∈(a,b),使
f(ξ)=C.
- 推论:若
f(x)在闭区间
[a,b]上连续,则
f(x)在
[a,b]上可取到介于最小值
m 和最大值
M 之间的任何值
- 零点定理
- 设
f(x)在闭区间
[a,b]上连续,且
f(a)⋅f(b)<0,则至少存在一点
ξ∈[a,b],使
f(ξ)=0.
5. 总结
- 函数
- 极限
- 连续