放苹果
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Description
把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放,问共有多少种不同的分法?(用K表示)5,1,1和1,5,1 是同一种分法。
Input
第一行是测试数据的数目t(0 <= t <= 20)。以下每行均包含二个整数M和N,以空格分开。1<=M,N<=10。
Output
对输入的每组数据M和N,用一行输出相应的K。
Sample Input
1 7 3
Sample Output
8
令f(m,n)表示m个苹果放到n个盘子里有多少种放法:
(1):当盘子数为1的时候,只有一种放法就是把所有苹果放到一个盘子里。
(2):当苹果数为1的时候,也只有一种放法,注意题目中说明,盘子之间并无顺序,所以不管这个苹果放在哪个盘子里,结果都算一个。
(3):当m<n时,因为此时最多只能放到m个盘子中去(一个里放一个),实际上就相当于把m个苹果放到m个盘子里一样,也就是f(m,m);
(4):当m==n时
,分两种情况讨论,一种
是
至少有一个盘子里不放苹果,这样子就相当于是f(m,m-1),第二种是
一个盘子里放一个,
只是一种;
(5):当m>n时,也分两种情况讨论,一种是至少有一个盘子里不放苹果,这样子就相当于f(m,n-1)
,第二种是(所有盘子都放)先取出n个苹果一个盘子里放一个,再将剩下的m-n个苹果放到n个盘子里去,即f(m-n,n);
综上所述:
得到递归表达式:
f(m,n)=1 当 m=1或n=1;
f(m,n)=f(m,m) 当m<n;
f(m,n)=1+f(m,m-1) 当m=n;
f(m,n)=f(m-n,n)+f(m,n-1);
解题分析: 9 设f(m,n) 为m个苹果,n个盘子的放法数目,则先对n作讨论, 10 当n>m:必定有n-m个盘子永远空着,去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m) 11 当n<=m:不同的放法可以分成两类: 12 1、有至少一个盘子空着,即相当于f(m,n) = f(m,n-1); 13 2、所有盘子都有苹果,相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果,不影响不同放法的数目,即f(m,n) = f(m-n,n). 14 而总的放苹果的放法数目等于两者的和,即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n) 15 递归出口条件说明: 16 当n=1时,所有苹果都必须放在一个盘子里,所以返回1; 17 当没有苹果可放时,定义为1种放法; 18 递归的两条路,第一条n会逐渐减少,终会到达出口n==1; 19 第二条m会逐渐减少,因为n>m时,我们会return f(m,m) 所以终会到达出口m==0. 20 */ 21 #include<stdio.h> 22 23 int fun(int m,int n) //m个苹果放在n个盘子中共有几种方法 24 { 25 if(m==0||n==1) //因为我们总是让m>=n来求解的,所以m-n>=0,所以让m=0时候结束,如果改为m=1, 26 return 1; //则可能出现m-n=0的情况从而不能得到正确解 27 if(n>m) 28 return fun(m,m); 29 else 30 return fun(m,n-1)+fun(m-n,n); 31 } 32 33 int main() 34 { 35 int T,m,n; 36 scanf("%d",&T); 37 while(T--) 38 { 39 scanf("%d%d",&m,&n); 40 printf("%d\n",fun(m,n)); 41 } 42 }