这是我学习博迪《投资学》的笔记。教材选用英文12e，习题选用中/英9e，是两个系列的笔记。以下为教材第六章学习笔记，后续会有配套视频在B站发布。
一、第六章结构
教材的六节，实际由三部分构成。
第一节，从均值方差原则开始，讲投资者的风险偏好、效用函数的定义，对投资者按照风险进行了分类，并引入了无差异曲线（三维空间函数在二维世界的等高线）。
第二至五节，讲的都是资本配置线CAL的问题。这条线代表的是无风险资产和有风险资产的配置，报酬——波动性比率如何定义？CAL与IC如何相切？切点怎么求？这是个运筹学的问题，用大学的黎曼微积分知识即可求解。
第六节对资本配置线与资本市场线进行了区分。习题会涉及对主动基金和被动基金的对比，并让你从基金经理的角度，劝客户别从你的基金撤资，用的就是本章讲的夏普比例。
建议阅读附录对效用函数的详细介绍，手算一下对数效用函数、确定等额收益率CE，以及配套的保险费例题。这些数理性极强的题目，都有可能成为清北考研真题。
二、本章重点公式
U
y*
补充：课后题提到的基金管理费和保险费，需要用公司理财的NPV方法，及概率论的德摩根定律求解。友情提示好好复习数学的极值第一、第二、第三充分条件等知识。
三、重要知识点
（一）效用函数
1.U=Er - 1/2 *A* SD ^2
2.决策方法：和Urf=rf对比
3.决策方法：均值方差原则：两个严格成立
（二）无差异曲线
1斜率为正，因为要用ER补偿SD
2A为正。A越低，则同一点的斜率越低
3IC既可以当成等高线，也可以当成隐函数。
把Er当成y，SD当成x，这就是y=1/2 * x^2 * A + C，为抛物线。
（三）期望效用与等额收益率
//数学基础：E(Mean)≠Mean(E )
实质就是数学凸函数/经济学凹函数的弦切不等式
图代表RV之间的函数关系，和PDF CDF无关
n等分点的函数值，始终高于函数值的n等分值
也就是先求期望收入，再求对数功效，一定会高估对数功效的均值。
U(E(W))=11.51, E(U(W))=11.37
投资决策以E(U(W))作为确定等额收益率。
将对数收益拉到指数上，e^E(U(W)就是投资之后的等额财富Wce
（四）风险资产与无风险资产的组合：资本配置线
//总组合，用y 1-y表示权重
风险资产组合，用wE wB表示权重
1.新组合的概率分布
2.CAL的斜率与SR
3.CAL的分段处理
4如何将标准差和期望收益联系？E(rc)有哪些形式？
（1）E(rc)关于y的表达式，源于期望运算定义；
（2）E(rc)关于σc的表达式，源于均值——标准差坐标系下的点斜式方程
（3）已知A，则可以求出y*头寸，从而求出E(rc)。
（4）此外，第五章还有对数正态分布下的算法
5.计算：U最大化时的风险资产配比y*=(Erp-rf)/A*SD^2
【对应第一种理解：Max U, given y】【符合微观经济学】
已知：
由投资者功效函数定义，U=Erc - 1/2 * A * SDc^2
由资本配置线性质得风险资产与无风险资产组合C满足以下概率分布：
Erc=rf + y(Erp - rf)
SDc=ySDp
则在给定市场条件(Erp, SDp)不变的情况下
U=f(y)=rf + y(Erp - rf)- 1/2 * A * y^2 * SDp^2
dU/dy=- 1/2 * A *SDp^2 *2y+(Erp - rf)=-A *SDp^2 * y+(Erp - rf)=0
解得驻点y*=(Erp - rf)/A *SDp^2
此时d 2U/dy2=-A *SDp^2<0
由极值点的第二充分条件，得y*为效用最大化的风险资产配置比例
由y*求一阶偏导数，得：
y*与A和SD成反比，与RP成正比
6.求证：U最大化点y*是均值方差坐标系中IC与CAL的切点
【第二种理解：切点】
给定风险资产和无风险资产的组合，作为有效集。
该规划问题的几何意义是：投资者可通过y调整U，但必须与IC有至少一个交点，以作为最终资产配置选择。
U向西北方递增，按理性经济人假设，一定会选择最高的U，st:
U与CAL有且仅有一个交点
下面证明，切点规定了最优(Erc, SD)。对应的就是最优风险配置比例y*。
法一 由投资学的定义，直接用可行解y*证明该点也是IC切点。
在均值——标准差坐标系中，IC曲线函数解出一阶导数：
d Erc / d SDc = A*SDc①
已证得y* = (Erp - rf)/A *SDp^2
若这点也在资本配置线上，可解出SDc=ySDp=(Erp - rf)/A *SDp^2 *SDp = 1/A * SRp②
将②代入①，解得IC曲线与资本配置线的交点满足：
d Erc / d SDc = A* 1/A * SRp = SRp，
说明IC过y*的切线与CAL平行。
说明在y*下实现的就是最大效用，而IC与CAL相切。
证迄。
法二就是拉格朗日条件极值，过于简单，略。