| 好题 |
概念 |
10,14不同时期的期限结构——本质就是债券估值 |
| 16通过HPR的计算，复习预期理论下的一年期YTM的投资学意义 |
||
| 计算 |
18,19实际是一道题，通过金融工程，复习无套利均衡交易策略 |
基础题
1对确定性资产，远期利率就是未来短期利率的期望值，满足(1+yn)^n=(1+yn-1)^(n-1)*(1+fn)
但对有风险资产，远期利率不等于期望值。
如果全体投资者都是短期投资者，LP=fn-E(Rn)>0.如果全体投资者都是长期投资者，LP=fn-E(RN)<0
纯粹预期理论中，风险溢价为0，fn=E(rn)。流动性溢价理论中，风险溢价>0，投资者偏好短期资产，因此f>E(rn)。即使E(rn)没有上涨，收益率曲线斜率也为正。
2
//pure, unbiased expectations theory长期即期利率高于短期即期利率的唯一原因，就是未来短期利率会上涨
在预期假说下，远期无风险利率是未来短期利率的无偏估计，因此向上倾斜的收益率曲线对应上升的短期利率。但是，按照流动性溢价理论，有可能LP>0而利率不变。
3不确定。通常名义利率会下跌，但流动性溢价可能会弥补这一点，甚至使其上升。
对。通胀下降，长期资产需求↑，从而长期资产需求↑
4A
5B
6A
中级题
7
| 期限 |
到期收益率 |
远期利率 |
| 1 |
0.0600 |
0.0600 |
| 2 |
0.0550 |
0.0500 |
| 3 |
0.0567 |
0.0592 |
| 4 |
0.0600 |
0.0700 |
8
证明：由(7)，对四年期零息债，
| 期限 |
价格 |
当年收益率 |
| 0 |
792.16 |
|
| 1 |
839.6896 |
0.06 |
| 2 |
881.6741 |
0.05 |
| 3 |
933.8692 |
0.0592 |
| 4 |
999.24 |
0.07 |
9根据期望假说，远期利率是预期未来短期利率的无偏估计。因此，可用利率期限结构图中的远期利率求解预期未来利率。
第三年至第四年的预计利率为
f4=(1.07^4)/(1.065^3)-1=0.0851
10
//提示：中文翻译有歧义，实际是，同样的3年期债券，1年后的收益率。问的不是1年后的新的3年期债券的收益率。
//问：今年期限结构和明年的期限结构是啥关系？
//答：实际上利率没变，只是名义上的年份变了
1)由题意，0时期的期限结构为
| 0时期 |
YTM |
f |
| 1 |
0.04 |
0.04 |
| 2 |
0.05 |
0.060096 |
| 3 |
0.06 |
0.080287 |
因此，3年期债券0时期价格为
1000*1.06^(-3)=839.6193
1时期的期限结构为
| 1时期 |
YTM |
f |
| 1 |
0.05 |
0.05 |
| 2 |
0.06 |
0.070095 |
| 3 |
0.07 |
0.090284 |
因此，3年期债券1时期的价格为
1000*1.06^(-2)=889.9964
综上，0-1时期的HPR=(890.00-839.62)/839.62=6.0%
2)已根据投资者预期计算收益率，下面根据预期理论重新估值。
| 0时期 |
YTM |
f |
预期理论下1时期的YTM |
| 1 |
0.04 |
0.04 |
0.060096154 |
| 2 |
0.05 |
0.060096 |
0.070143772 |
| 3 |
0.06 |
0.080287 |
显然，市场预期1年后的2年期YTM高于投资者自己预期的6%，因此1年后的价格更低。
所以，市场预期的收益率会更低。
//标答应该是弄混了，更高回报率是1-3时期的，而不是0-1时期。
11
1)根据Term structure，该平息债券的现金流等价于两个零息债券的组合
P=9/1.07+109/1.09^2=101.86
2)101.86=9/(1+YTM)+109/(1+YTM)^2
解得YTM=7.96%
3)由预期理论，远期利率是预期未来短期利率的无偏估计，故可用利率期限结构图反解未来利率。
r2=f2=(1.08^2)/1.07-1=0.0901
P1=109/1.0901=99.99
4)由流动性溢价理论，投资者偏好流动性强的短期债券，因此远期利率相对于预期未来利率有溢价。
r2=f2-0.01=0.0801
P1=109/1.0801=100.92
12
1)使用比值估值法。
现价为P0=943.30*0.085+873.52*0.085+816.37*0.085+816.37=1040.19
1040.19=85*(P/A,YTM,3)+1000*(P/F,YTM,3)
解得YTM=6.97%
2)由题意，未来预期利率保持在8%不变。由现金流量折现理论，债券在1时期的价格为
P1=85*1.08^(-1)+1085*1.08^(-2)=1008.9
HPR=(85+1008.9-1040.19)/1040.19=0.0516
//问：水平的YC怎么用？
//答：当成未来的折现率YTM，重新估值
13
1)由利率的期限结构，
P0=60/1.05+60/1.05/1.07+1060/1.05/1.07/1.08=984.14
2)由现金流量折现理论
984.14=60*(P/A,YTM,3)+1000*(P/F,YTM,3)
解得YTM=6.6%
3)由预期假说，远期利率是未来即期利率的无偏估计。因此，可用利率期限结构图推导未来利率。
未来的现金流及再投资收益分布如下
| 时期 |
0 |
1 |
2 |
3 |
| 息票 |
60 |
60 |
60 |
|
| 本金 |
1000 |
|||
| 息票再投资 |
60*1.07 |
60*1.07*1.08 |
||
| 60*1.08 |
||||
| 终值 |
1194.14 |
RCR=(1194.14/984.14)^(1/3)-1=0.0666
//问：这里是不是默认持有至到期日算RCR
//答：是的
4)由题意，1时期期末到3时期期末，期望利率均为7%
故一年后的债券价格是P1=60/1.07+1060/1.07/1.07=981.92
HPR=(60+981.92-984.14)/984.14=5.87%
14
//问：还是一样的问题：不同时期的期限结构怎么看？
//答：本质上就一件事：查表，找折现率，估值。
1)显然，1年期零息债的收益率就是到期收益率6.1%
在当前的期限结构下，可计算得4年期零息债价格为
P0=1000*1.064^(-4)=780.25
由于明年的期限结构与现在相同，故需用3年期的利率重新折现
P1=1000*1.063^(-3)=832.53
由此可得HPR=(832.53-780.25)/780.25=6.70%
2)根据期望假说，预期未来利率已经反映在当前的期限结构中。
各时期的期望利率不变，但由于序号数变化，YTM和远期都会有名义上的变动。
//核心：如果明年的期限结构不变，意味着预期理论不成立。就本例而言，一方面折现期变少，另一方面折现率还降低了，当然价格就涨上去了。可以用和RCR相似的方法去计算HPR
由题意，0时期期限结构如下：
| 时期 |
YTM |
远期 |
| 1 |
6.1 |
6.1 |
| 2 |
6.2 |
6.3 |
| 3 |
6.3 |
6.5 |
| 4 |
6.4 |
6.7 |
因此，一年后的债券价格为
P1=1000/1.063/1.065/1.067=827.85
HPR=(827.85-780.25)/780.25=6.1%
//提示：YTM就是即期利率，只不过换了个说法，都是YC的
//易错提示：不能用0时期的三年期即期利率套到1时期的三年期即期利率。用远期重算三年期即期利率才对，画现金流量图就懂了。
上述结果的投资学意义是：如果坚持预期理论，期限结构会发生名义变化，但每个时期的预期利率保持不变；HPR与各期的YTM，即即期利率保持一致。无论持有的是短期债还是长期债，在预期理论下，HPR都不会有区别，风险溢价为0
15
首先进行定价。债券公允价值是
V0=120/1.05+1120/1.06/1.06=1111.08
按5.8%的YTM计算，当前价格为
P0=120/1.058+1120/1.058/1.058=1113.99
所以应当执行如下无风险套利交易：
| 时期 |
0 |
1 |
2 |
|||
| 交易 |
卖空付息债券 |
+1113.99 |
支付利息 |
-120 |
还本付息 |
-1120 |
| 买1年期零息债 |
-114.29 |
收到本金 |
+120 |
|||
| 买2年期零息债 |
-996.80 |
收到本金 |
+1120 |
|||
| 无风险套利 |
+2.9 |
16
1)1年期零息债券YTM=100/94.34-1=6.00%
2年期零息债券YTM=(100/84.99)^0.5-1=8.47%
所以，付息债券的价格为
12/1.06+112/1.0847/1.0847=106.5124
其YTM满足
106.5124=12/(1+YTM)+112*(1+YTM)^(-2)
解得YTM=8.33%
2)由当前的期限结构解得
f2=((1+0.0847)^2)/(1+0.06)-1=11.00%
3)由期望假说，第二年的期限结构会发生名义变动，但期望未来利率不变。
所以，一年后的附息债券价格为
E(P1)=112/1.11=100.90
故E(HPR)=(12+100.90-106.51)/106.51=6.00%
与当前期限结构中一年期利率一致。
4)按照流动性偏好理论，远期利率包括相对于未来利率的溢价，因此计算期望价格时，折现率会更低，期望价格会更高，从而有更高的E(HPR)
高级题
17
1)一年期远期利率，就是无风险的一年期零息债券的YTM=10%
2)由题意，0时期的期限结构为
| 期限 |
YTM |
远期 |
| 1 |
0.1 |
0.1 |
| 2 |
0.11 |
0.120091 |
| 3 |
0.12 |
0.140271 |
所以，1时期的期限结构为
YTM1=f1=12%
YTM2=f1f2=(1.12*1.14)^0.5-1=13%
3)由题意，
| 期限 |
YTM |
远期 |
零息债0时期价格 |
零息债1时期价格 |
0-1时期的HPR |
| 1 |
0.1 |
0.1 |
|||
| 2 |
0.11 |
0.120091 |
811.6224332 |
892.7846766 |
0.1000 |
| 3 |
0.12 |
0.140271 |
711.7802478 |
782.9582726 |
0.1000 |
证明在预期理论下，无论多长期限的零息债，一年期HPR均为一年期的短期利率。
4)由0时期的期限结构，
P0=120*1.1^(-1)+120*1.11^(-2)+1120*1.12^(-3)=1003.68
由1时期的期限结构，
P1=120/1.12+1120/1.12/1.14=984.34
故HPR=(120+984.34-1003.68)/1003.68=10%
18
1)由题意得期限结构
| 期限 |
价格 |
YTM |
远期 |
| 1 |
925.93 |
0.0800 |
0.0800 |
| 2 |
853.39 |
0.0825 |
0.0850 |
| 3 |
782.92 |
0.0850 |
0.0900 |
| 4 |
715 |
0.0875 |
0.0950 |
| 5 |
650 |
0.0900 |
0.1000 |
2)由题意，构建以下交易策略
| 0时期交易 |
现金流 |
3时期交易 |
现金流 |
4时期交易 |
现金流 |
| 借4年钱，约定到期一次还本付息 |
+782.92 |
还本付息 |
782.92*1.0875^4=1095.05 |
||
| 买3年期零息债 |
-782.92 |
零息债到期 |
+1000 |
单独考察3-4时期的现金流，可得等价贷款利率为(1095.05-1000)/1000=9.50%
等于3-4时期的远期利率
3)
| 0时期交易 |
现金流 |
4时期交易 |
现金流 |
5时期交易 |
现金流 |
| 借4年钱，约定到期一次还本付息 |
+715 |
还本付息 |
715*1.09^5=1100.12 |
||
| 买3年期零息债 |
-715 |
零息债到期 |
+1000 |
等价贷款利率为(1100.12-1000)/1000=10.00%，等于4-5时期的远期利率
19
1)由当前市场报价，需卖出零息债份数为782.92/650=1.20份
2)由题意，构建以下交易策略
| 0时期交易 |
现金流 |
3时期交易 |
现金流 |
5时期交易 |
现金流 |
| 卖5年期零息债x1.2 |
+782.92 |
还本付息 |
782.92*1.09^5=1204.62 |
||
| 买3年期零息债 |
-782.92 |
零息债到期 |
+1000 |
3)实际的两年期贷款利率为
(1204.62-1000)/1000=0.2046
4)由0时期的期限结构，
1.095*1.1=1.2045
证迄
//标答还有种证明方法：直接用期限结构y5,y3推出两年期远期