组合数学：第一类Stirling数 第二类Stirling数和Bell数

【第一类Stirling数】

 

s(p,k)的一个的组合学解释是：将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。

 

s(p,k)的递推公式： s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1

 

边界条件：s(p,0)=0 ,p>=1  s(p,p)=1  ,p>=0

 

 

 

递推关系的说明：

 

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空循环排列，这样前p-1种物品构成k-1个非空循环排列，方法数为s(p-1,k-1)；

 

也可以前p-1种物品构成k个非空循环排列，而第p个物品插入第i个物品的左边，这有(p-1)*s(p-1,k)种方法。

 

 

例题：HDU4372 Count the Buildings

 

 

 

【第二类Stirling数】

 

　　

 

S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

 

k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如：被标有房号）的房间(无空房）的方法数。

 

　　

 

S(p,k)的递推公式是：S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

 

边界条件：S(p,p)=1 ,p>=0    S(p,0)=0 ,p>=1

 

　　

 

递推关系的说明：

 

考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；

 

也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。

 

第一类斯特林数和第二类斯特林数有相同的初始条件，但递推关系不同。

【Bell数】

本人初学bell数，还没做过题，这里给一篇别人的博客：https://blog.csdn.net/creat2012/article/details/40619031