(Acwing)完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例：

朴素写法：会超时

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=0;j<=m;j++)
          for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
             f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
              
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

按分多少个物品进行划分：

进行二维优化：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int N = 1010;
int n,m;     
int v[N],w[N]; 
int f[N][N];   
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j] = f[i-1][j];  
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    
    /*for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            cout<<f[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }*/
    
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

进行一维优化：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
 
const int N = 1010;
int n,m;     
int v[N],w[N]; 
int f[N];   
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v[i];j<=m;j++){
            //与01背包不同的是，j循环必须从小到大，01背包从大到小是避免覆盖，而这完全背包从小到大是为了必须覆盖
            //由图可知，我们需要实现的是累加的过程
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    
    /*for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            cout<<f[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }*/
    
    cout<<f[m]<<endl;
}