[AcWing] 01背包问题

01背包问题

题目

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V≤1000 \\ 0<vi,wi≤1000$

输入样例

4  5
1  2
2  4
3  4
4  5

输出样例

8

题解一

思路

• 状态表示：f[i][j] 表示前 i 个物品，背包容量 j 下的最大价值
• 状态转移方程：
  选第 i 个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]
  不选第 i 个物品：f[i][j] = f[i-1][j]

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N][N], w[N], v[N], n, m;

int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
        }
        
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

题解二

思路

• 状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N], w[N], v[N], n, m;

int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j --) 
            f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);
        
    cout << f[m];
    return 0;
}