21795: 完全背包问题

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题目描述

设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。

输入

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；

第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。

输出

仅一行，一个数，表示最大总价值。

样例输入

样例输出

max=12

完全背包在题目描述中写的已经很清楚了。类比01背包

https://blog.csdn.net/qq_42217376/article/details/81251686

完全背包是选择了物品之后，在背包容量允许的情况下可以继续选择该物品。

首先还是开一个二维数组dp[i][j]，其中含义都和01背包一样，

1.不能继续选择物品i时,dp[i][j]=dp[i-1][j]

2.能选择物品i，以及能够继续选择物品i时有dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-c[i]]+v[i]);

那么就有下面的代码（内存超限）：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
int c[13010],v[13010],dp[13010][13010];
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",&c[i],&v[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
                if(j>=c[i])
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-c[i]]+v[i]);
                else
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
        printf("max=%d\n",dp[n][m]);

    }
    return 0;
}

和01背包一样的做法，二维遍变一维

AC代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
using namespace std;
int c[13010],v[13010],dp[13010];
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",&c[i],&v[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=c[i];j<=m;j++)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+v[i]);
        }
        printf("max=%d\n",dp[m]);
    }
    return 0;
}

为什么这里是顺序呢？用01背包的方法

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 放入物品1的收益
0 0 1 3 3 4 6 6 7 9 9 放入物品2的收益
0 0 1 3 5 5 6 8 10 10 11 ......
0 0 1 3 5 5 6 9 10 10 12 ......

因为你需要先知道物品2有没有已经被放过，以第2行为例：0 0 1 3（放入2一次）3 4 6（放入物品2两次）6 7 9（放入物品2三次）9