【ACWing】3. 完全背包问题

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/3/

有$N$种物品和一个容量是$V$的背包，每种物品都有无限件可用。第$i$种物品的体积是$v_i$，价值是$w_i$。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

数据范围：
$0\le N,V\le 1000$
$0\le v_i,w_i\le 1000$

思路是动态规划。设$f[i][j]$是只允许选前$i$个物品，并且总重量不超过$j$的情况下，能得到的最大价值。那么所有方案可以分为两类，不含第$i$个物品和含第$i$个物品，若不含第$i$个物品，那就相当于只从前$i-1$个物品，最大价值就是$f[i-1][j]$；若含第$i$个物品，最大价值就是$f[i][j-v_i]+w_i$。则有： f [ i ] [ j ] = min ⁡ { f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − v i ] + w i } f[i][j]=\min\{f[i-1][j],f[i][j-v_i]+w_i\} f[i][j]=min{ f[i−1][j],f[i][j−vi​]+wi​}我们可以优化空间。可以发现$f[i][j]$只会用到其上和左边的值，所以可以只开一行数组，然后每轮都从左向右更新。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010, V = 1010;
int v[N], w[N];
int f[V];

int main() {
    
    
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    	// 每行从左到右更新
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (j >= v[i])
                f[j] = max(f[j],  f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

时间复杂度$O(NV)$，空间$O(V)$。