1.换元积分法包括第一类换元积分和第二类换元积分
2.深入理解换元积分法推导的前因后果以及公式应用
上一篇我们介绍了基本的不定积分公式，以及利用不定积分的线性性质求解稍微复杂的式子。今天我们继续介绍别的方法——换元积分法。
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第一类换元积分法
换元积分法有两类，先介绍第一类换元积分法：
这里的证明是严格的，但是我们也有另外一种证明，它在逻辑上是不通的，但是在应用上是可以的，为什么这么说的，我们先来看证明：
第一眼看起来，这个证明“天衣无缝”，红色部分利用了g(x)的微分，但这里之所以可以写成g(x)的微分,是因为不定积分被定义成了含有微分"dx"的形式:
既然是定义，如果换另外一种定义呢，比如不带微分形式的定义:
那么显然红色部分不再成立。
所以，科学家定义不定积分形式时，带微分”dx"是为了能够用第二种“因果倒置”的证明方式进行方便计算而“故意为之”。这一点格外重要，以后我们计算可以直接利用微分形式，但要注意，这不是原因，而是结果，真正的原因是第一种严格的证明.
从形式来看，微分部分就是凑出来的，因此，第一类换元积分法又被称为“凑微分法”。我们下面举几个例子.
例1
例2
例3
例4
例5
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第二类换元积分法
接着我们介绍第二类换元积分法：
同理，下面等式成立：
这与第一类换元积分类似，红色框的等号成立的原因是因为等式终端两边相等，科学家“故意”将不定积分记号带微分形式。这一点多次强调，要清楚其中的因果关系。
下面我们举几个例子加深对第二类换元积分的理解。
例6
例7
这里要注意的一个地方，就是x的取值只有大于a的情况，很显然，少考虑了x小于-a的情况，即：
我们知道，对原函数求导时，我们并不会考虑x是否大于a还是小于-a，因此对于求不定积分的另外一种情况，答案肯定是一样的，因此我们考虑一种情形即可.