01 基础练习
一、z变换性质
1、利用性质求序列的z变换
（1）
利用 z 变换的变换域中的微分性质：
因此，
（2）
（3）
（4）
首先有：
那么， 根据 z 变换的位移定理：
在根据 z 变换的指数加权特性：
另外一种求解方法：
（5）
2、初值和终值
（1）
由于 X ( z ) X\left( z \right) X(z) 存在一个位于单位圆外的极点 z = 3 z = 3 z=3 ，所以序列的终值不存在。
（2）
（3）
（4）
这是一个假分式， 通过长除方法将其展成 z 的多项式和真分式。
其中常量项对应序列的初值， 即： x [ 0 ] = 1.25 x\left[ 0 \right] = 1.25 x[0]=1.25 。
3、求序列的卷积
（1）
根据 z 变换的卷积定理， y [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right] y[n]=x[n]∗h[n] ， 那么 y [ n ] y\left[ n \right] y[n] 的 z 变换为：
所以
（2）
序列 x [ n ] , h [ n ] x\left[ n \right],h\left[ n \right] x[n],h[n] 的 z 变换分别为：
根据 z 变换的卷积定理，可以知道：
进行因式分解，可得：
所以：
4、求序列乘积的 z 变换
（1）
根据 z 变换时域乘积定理，
根据 X ( z ) X\left( z \right) X(z) 的收敛域， 可知 ∣ v ∣ > 1 3 \left| v \right| > {1 \over 3} ∣v∣>31 ， 根据 H ( z ) H\left( z \right) H(z) 的收敛域，可知 ∣ z / v ∣ < 1 / 3 \left| {z/v} \right| < 1/3 ∣z/v∣<1/3 ，即 ∣ v ∣ > 3 ∣ z ∣ \left| v \right| > 3\left| z \right| ∣v∣>3∣z∣ 。 所以 在上述围线积分中， 包括有两个极点分别是 1 / 3 , 3 z 1/3,\,\,3z 1/3,3z 。利用留数定理计算上述围线积分：
由此，可以知道 y [ n ] = δ [ n ] y\left[ n \right] = \delta \left[ n \right] y[n]=δ[n] 。
根据 X ( z ) , H ( z ) X\left( z \right),H\left( z \right) X(z),H(z) 的收敛域，可知： ∣ v ∣ > e − β , ∣ v ∣ < ∣ z ∣ \left| v \right| > e^{ - \beta } ,\left| v \right| < \left| z \right| ∣v∣>e−β,∣v∣<∣z∣ 。 所以上述围线积分包含的极点为 e − β e^{ - \beta } e−β 。 由此：
对照典型信号 z 变换表格，可知： x [ n ] ⋅ h [ n ] = e − n β sin ω 0 n ⋅ u [ n ] x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right] = e^{ - n\beta } \sin \omega _0 n \cdot u\left[ n \right] x[n]⋅h[n]=e−nβsinω0n⋅u[n] 。
5、证明z变换累加定理
序列的累加，可以看成序列 与 u [ n ] u\left[ n \right] u[n] 的卷积， 即：
根据 z 变换的卷积定理，可知序累加和的 在变换等于序列的z变换乘以 u [ n ] u\left[ n \right] u[n] 的 z 变换。由于：
所以：
6、z 变换尺度特性
（1）
（2）
二、求解微分方程和差分方程
1、求解微分方程
（1）
对微分方程两边进行 Laplace 变换， 利用 Laplace 变换微分定理可以将系统的初始条件代入方程：
利用 因式分解方法，求解 y(s)：
（2）
对微分方程两边进行 Laplace 变换：
利用因式分解方法，求解微分方程时域表达式：
2、求解差分方程
（1）
对差分方程左右同时求 z 变换。
对 Y(z) 进行因式分解：
对应的右边序列为：
（2）
对差分方程左右同时求 z 变换：
进行 z 反变换，可得：
3、求系统的单位冲击响应
系统的单位冲激响应的 Laplace 变换对应系统函数。
进行化简后， 因式分解：
对应系统的单位冲激响应为：
三、序列的傅里叶变换
（1）
（2）
序列的 z 变换为：
那么对应序列的傅里叶变换为：
（3）
■ 相关文献链接: