信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第十一次次作业

• 信号与系统 2023年春季作业要求与参考答案汇总
• 信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第十一次作业

01 基础练习

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一、z变换性质

1、利用性质求序列的z变换

• 必做题： （1）（3）（5）
• 选做题： （2）（4）

利用性质求解z变换

2、初值和终值

  利用 z 变换的初值和终值定理，求解下面序列的初值 $x\left[0\right]$ 已知终值 $x\left[\infty \right]$ 。

• 必做题： （1）（3）
• 选做题： （2）（4）

Z变换初值和终值定理

3、求序列的卷积

  利用 z 变换的卷积定理， 求以下序列 $x\left[n\right],h\left[n\right]$ 的卷积。

• 必做题

  （1）

• 选做题

  （2）

应用Z变换求解卷积

4、求序列乘积的 z 变换

  已知序列 $x\left[n\right],h\left[n\right]$ 的 z 变换为 $X\left(z\right),H\left(z\right)$ 。 利用 z 变换变换域卷积定理求两个序列乘积对应的 z 变换 Z { x [ n ] ⋅ h [ n ] } Z\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\} Z{ x[n]⋅h[n]} 。

• 必做题

  （1）

  （2）

• 选做题
  

序列乘积的Z变换

5、证明z变换累加特性

  已知 Z { x [ n ] } = X ( z ) Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right) Z{ x[n]}=X(z) ，试证明：

Z变换的尺度特性

6、z变换尺度特性

  已知 Z { x [ n ] } = X ( z ) Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right) Z{ x[n]}=X(z) ，并且：

  求： $x_1\left[n\right],x_2\left[n\right]$ 的 z 变换。

提示： $x_1\left[n\right]$ 的 z 变换需要应用到如下一个公式， 表示对于序列的抽取：

Z变换的尺度特性

二、求解微分方程和差分方程

1、求解微分方程

  应用 Laplace 变换求解下面微分方程， 并求系统的零输入响应和零状态响应。

• 必做题

  （1）

• 选做题

  （2）

利用LAPLACE变换求解微分方程

2、求解差分方程

  应用单边 z 变换求解下列差分方程， 并求出零输入响应、零状态响应。

• 必做题

  （1）

• 选做题

  （2）

应用Z变换求解差分方程

3、求系统的单位冲激响应

  设 LTI 系统在输入信号 $x\left(t\right)=e^{-t}u\left(t\right)$ 的激励下， 系统的零状态响应为：

  求该系统的单位冲激响应 $h\left(t\right)$ 。

提示： 单位冲激响应对应的 Laplace 变换 $H\left(s\right)$ 等于 $Y\left(s\right)/X\left(s\right)$ 。

求解系统单位冲激响应

三、序列的傅里叶变换

  求以下序列对应的 DTFT：

序列的傅里叶变换

02 实验作业

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一、绘制s平面到z平面的映射

1、实验要求

  通过软件编程观察s平面中， 中心在原点，半径不断变化的圆对应的 z 平面上的曲线。 s 复平面与 z 复平面之间的对于关系为： $$z=e^{s{T}_s}$$ 可以假设其中的采样时间间隔 $T_s$ 等于1。

这个问题，最初是由同学提问引起的。 “老师好，请问上课讲的这个的s平面图形是什么样的呀？当时没来得及记下来。”

▲ 图2.1.1 学生的笔记

2、参考Python程序

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2021-06-16
#
# Note:
#============================================================

from headm import *
from tsmodule.tsdraw        import *

theta = linspace(0, 2*pi, 25000)

s = [cos(t) + sin(t)*1j for t in theta]

gif = PlotGIF()

for r in linspace(0.1, 10, 100):
    z = [exp(ss*r) for ss in s]

    plt.clf()
    plt.plot(real(z), imag(z))
    plt.xlabel("Real")
    plt.ylabel("Image")
    title = "Ratio:%f"%r
    plt.title(title)
    plt.grid(True)
    plt.tight_layout()
#    plt.show()
    plt.draw()
    plt.pause(.1)
    gif.append(plt)

gif.save(r'd:\temp\1.gif')

#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

（1）0<R<10

▲ 图2.1.2 . R在0到10之间变化

（2）0<R<20

▲ 图2.1.3 . R在0到20之间变化

  由于从s平面到z平面是多对1的映射，所以绘制这样的关系比较简单。但反过来，从z平面到s平面的映射是1对多的映射，所以绘制对应的曲线稍微麻烦一些。

• 参考文献： s平面上的圆对应的z平面上的图形

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统 2023年春季作业要求与参考答案汇总
• 信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第十一次作业
• s平面上的圆对应的z平面上的图形

● 相关图表链接:

• 图2.1.1 学生的笔记
• 图2.1.2 . R在0到10之间变化
• 图2.1.3 . R在0到20之间变化