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§01 基础作业

1.1 z变换性质

1.1.1 求序列z变换

利用 z 变换的性质求以下序列的 z 变换，结果中标明收敛域。

$\left( 1 \right)\,\,\,\,x_1 \left[ n \right] = \left( { - 3} \right)^n n \cdot u\left[ n \right];\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\,x_2 \left[ n \right] = \left( {n - 4} \right) \cdot u\left[ n \right];$ $\left( 3 \right)\,\,\,x_3 \left[ n \right] = n \cdot a^{n - 2} \cdot u\left[ n \right];\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\,\,\,x_4 \left[ n \right] = 2^n \cdot \left( {\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( { - 1} \right)^k \cdot u\left[ {n - k} \right]} } \right);$ $\left( 5 \right)\,\,\,x_5 \left[ n \right] = { {a^n } \over {n + 1}} \cdot u\left[ {n + 1} \right];\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\,\,\,x_6 \left[ n \right] = \left( { {1 \over 3}} \right)^n \cdot \cos \left( { { {n\pi } \over 3}} \right) \cdot u\left[ n \right];$

1.1.2 初值和终值

根据下面序列 $x\left[ n \right]$ 的 z 变换，求序列的初值 $x\left[ 0 \right]$ 以及终值 $x\left[ \infty \right]$ 。

（1） $X\left( z \right) = { {1 + z^{ - 1} + z^{ - 2} } \over {\left( {1 - z^{ - 1} } \right)\left( {1 - 2z^{ - 1} } \right)}}$
（2） $X\left( z \right) = {1 \over {\left( {1 - 0.5z^{ - 1} } \right)\left( {1 + 0.5z^{ - 1} } \right)}}$
（3） $X\left( z \right) = { {z^{ - 1} } \over {1 - 1.5z^{ - 1} + 0.5z^{ - 2} }}$
（4） $X\left( z \right) = { {z^4 } \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 0.5} \right)\left( {z - 0.5} \right)}}$

请大家注意求序列初值和终值的条件。

1.1.3 求序列卷积

利用 z 变换求一下序列 $x\left[ n \right],h\left[ n \right]$ 的卷积：

（1） $x\left[ n \right] = a^{n - 1} \cdot u\left[ {n - 1} \right];\,\,\,\,h\left[ n \right] = u\left[ n \right]$
（2） $x\left[ n \right] = 2u\left[ {n - 1} \right];\,\,\,\,h\left[ n \right] = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( { - 1} \right)^k \delta \left[ {n - k} \right]}$

提示：应用 z 变换的时域卷积定理。

1.1.4 求序列乘积的z变换

已知序列 $x\left[ n \right],h\left[ n \right]$ 的 z 变换为 $X\left( z \right),H\left( z \right)$ ，如下式所示。应用 z 域卷积定理求 $Z\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\}$ 。

（1） $X\left( z \right) = {1 \over {1 - {1 \over 2}z^{ - 1} }},\,\,\left| z \right| > 0.5;\,\,\,\,H\left( z \right) = {1 \over {1 - 2z}},\,\,\left| z \right| < 0.5$

（2） $X\left( z \right) = {z \over {z - e^{ - b} }},\,\,\left| z \right| > e^{ - b} ;\,\,\,H\left( z \right) = { {z \cdot \sin \omega _0 } \over {z^2 - 2z\cos \omega _0 + 1}},\,\,\left| z \right| > 1$

提示：应用 z 变换的变换域卷积定理；

1.1.5 证明z变换累加性质

已知 $Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right)$ ，试证明： $Z\left\{ {\sum\limits_{k = - \infty }^n {x\left[ k \right]} } \right\} = {z \over {z - 1}}X\left( z \right)$

1.1.6 序列尺度特性

已知 $Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right)$ ，并且 $x_1 \begin{bmatrix} n \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} {4n} \end{bmatrix};\,\,\,\,x_2 \begin{bmatrix} n \end{bmatrix} = \left\{ \begin{matrix} {x\begin{bmatrix} {n/4} \end{bmatrix},\,\,\,\,n = 4k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{0,\,\,\,\,\,n = 4k + 1,4k + 2,4k + 3}\\\end{matrix} \right.$

求： $x_1 \left[ n \right],x_2 \left[ n \right]$ 的 z 变换。

提示： $x_1 \left[ n \right]$ 的 z 变换需要用到如下的一个公式，表示对于序列的抽取： $\over 4}\begin{bmatrix} {1^n + j^n + \left( { - 1} \right)^n + \left( { - j} \right)^n } \end{bmatrix} = \left\{ \begin{matrix} {1,\,\,\,\,n = 4k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{0,\,\,\,\,\,n = 4k + 1,4k + 2,4k + 3}\\\end{matrix} \right.$
对于 $x_2 \left[ n \right]$ 的 z 变换可以直接应用 z 变换定义，使用变量替换即可。

1.2 求解微分方程

应用拉普拉斯变换求解下面微分方程，并求系统的零输入响应和零状态响应。

（1） ${d^2 } \over {dt^2 }}y\left( t \right) + 2{d \over {dt}}y\left( t \right) + y\left( t \right) = \delta \left( t \right) + 3\delta '\left( t \right)$ $y\left( {0_ - } \right) = 2,\,\,y'\left( {0_ - } \right) = 1$

（2） ${d^2 } \over {dt^2 }}y\left( t \right) + 5{d \over {dt}}y\left( t \right) + 6y\left( t \right) = 3x\left( t \right)$ $x\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right),\,\,y\left( {0_ - } \right) = 0,\,\,y'\left( {0_ - } \right) = 1$

1.3 求解差分方程

应用单边 z 变换求解下列差分方程，并求出零输入响应和零状态响应。

（1） $y\left[ n \right] + 3y\left[ {n - 1} \right] = x\left[ n \right],\,\,\,x\left[ n \right] = \left( { {1 \over 2}} \right)^n \cdot u\left[ n \right],\,\,y\left[ { - 1} \right] = 1$
（2） $y\left[ n \right] - {1 \over 2}y\left[ {n - 1} \right] = x\left[ n \right] - {1 \over 2}x\left[ {n - 1} \right],\,\,x\left[ n \right] = u\left[ n \right],\,\,y\left[ { - 1} \right] = 1$

1.4 系统的单位冲激响应

设LTI系统在激励 $x\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right)$ 作用下，系统的零状态响应为： $y\left( t \right) = {1 \over 2}e^{ - t} - e^{ - 2t} + 2e^{ - 3t}$ 求该系统的单位冲激响应 $h\left( t \right)$ 。

§02 实验作业

2.1 绘制s平面到z平面的映射

2.1.1 实验要求

通过软件编程观察s平面中，中心在原点，半径不断变化的圆对应的 z 平面上的曲线。 s 复平面与 z 复平面之间的对于关系为： $z = e^{sT_s }$ 可以假设其中的采样时间间隔 $T_s$ 等于1。

这个问题，最初是由同学提问引起的。 “老师好，请问上课讲的这个的s平面图形是什么样的呀？当时没来得及记下来。”

▲ 图2.1.1 学生的笔记

2.1.2 参考Python程序

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2021-06-16
#
# Note:
#============================================================

from headm import *
from tsmodule.tsdraw        import *

theta = linspace(0, 2*pi, 25000)

s = [cos(t) + sin(t)*1j for t in theta]

gif = PlotGIF()

for r in linspace(0.1, 10, 100):
    z = [exp(ss*r) for ss in s]

    plt.clf()
    plt.plot(real(z), imag(z))
    plt.xlabel("Real")
    plt.ylabel("Image")
    title = "Ratio:%f"%r
    plt.title(title)
    plt.grid(True)
    plt.tight_layout()
#    plt.show()
    plt.draw()
    plt.pause(.1)
    gif.append(plt)

gif.save(r'd:\temp\1.gif')

#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

（1）0<R<10

▲ 图2.1.2 . R在0到10之间变化

▲ 图2.1.2 . R在0到10之间变化

（2）0<R<20

▲ 图2.1.3 . R在0到20之间变化

▲ 图2.1.3 . R在0到20之间变化

由于从s平面到z平面是多对1的映射，所以绘制这样的关系比较简单。但反过来，从z平面到s平面的映射是1对多的映射，所以绘制对应的曲线稍微麻烦一些。

参考文献： s平面上的圆对应的z平面上的图形

■ 相关文献链接:

s平面上的圆对应的z平面上的图形

● 相关图表链接:

图2.1.1 学生的笔记
图2.1.2 . R在0到10之间变化
图2.1.3 . R在0到20之间变化

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