2020年春季学期信号与系统课程作业参考答案-第十三次作业

信号与系统课程第十三次作业参考答案

 

 

※ 第一题

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如下图所示的反馈系统，回答以下各列问题：
（1）写出系统的传递函数： $H\left( s \right) = {{V_2 \left( s \right)} \over {V_1 \left( s \right)}}\,\,\,\,\,\,\,\,$
（2） K满足什么条件时系统稳定？
（3）在临界稳定条件下，系统的冲激响应 $h\left( t \right)$。

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■ 求解：

（1）求解：
${{Ks} \over {s^2 + 4s + 4}}\left[ {V_1 \left( s \right) + V_2 \left( s \right)} \right] = V_2 \left( s \right)$ $H\left( s \right) = {{V_2 \left( s \right)} \over {V_1 \left( s \right)}} = {{Ks} \over {s^2 + \left( {4 - K} \right)s + 4}}$

（2）求解：
$p_{1,2} = {{\left( {K - 4} \right) \pm j\sqrt {16 - \left( {4 - K} \right)^2 } } \over 2}$ ${{K - 4} \over 2} < 0\,\,\, \Rightarrow \,\,K < 4$

（3）求解：

$K = 4,\,\,\,H\left( s \right) = {{4s} \over {s^2 + 4}}$ $h\left( t \right) = 4\cos \left( {2t} \right) \cdot u\left( t \right)$

^{▲ 使用MATLAB中的SIMULINK可以来仿真在上述各个K值参数下系统的单位阶跃响应：}

※ 第二题

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如下图所示的反馈系统，回答以下各列问题：
（1）写出系统传递函数： $H\left( z \right) = {{Y\left( z \right)} \over {X\left( z \right)}}$
（2）K满足什么条件的时候系统稳定？

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■ 求解：

（1）解答：
$y\left[ n \right] = y\left[ {n - 1} \right] + 4y\left[ {n - 2} \right] - k \cdot y\left[ {n - 1} \right] + x\left[ n \right]$ $Y\left( z \right) = \left( {1 - k} \right)z^{ - 1} Y\left( z \right) + 4z^{ - 2} Y\left( z \right) + X\left( z \right)$ $H\left( z \right) = {{Y\left( z \right)} \over {X\left( z \right)}} = {{z^2 } \over {z^2 + \left( {K - 1} \right)z - 4}}$

（2）解答：
$\Delta = \left( {K - 1} \right)^2 + 16 > 0,\,\,z_1 z_2 = - 4$

根据 $z_1 ,z_2$的乘积等于-4，说明在任何时候，两者中至少有一个绝对值大于1，所以系统总是不能够稳定的。

※ 第三题

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离散时间系统如下图所示：
（1） 求该系统的传递函数 $H\left( z \right)$；
（2） 设系统的机理为： $x\left[ n \right] = \left[ {\left( { - 1} \right)^n + \left( { - 2} \right)^n } \right] \cdot u\left[ n \right]$
用z变换求该系统的零状态响应；
（3） 已知 $x\left[ n \right] = \delta \left[ n \right],\,\,y\left[ 0 \right] = 1,\,\,y\left[ { - 1} \right] = - 1$
利用z变换求该系统的零输入响应。

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■ 求解：

（1）解答：
通过设立中间变量 $w\left[ n \right]$建立两个方程：

系统的传递函数为：
${{Y\left( z \right)} \over {X\left( z \right)}} = {{4 + 5z^{ - 1} } \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}\, = {{4z^2 + 5z} \over {z^2 - 3z + 2}}$

（2）解答：
系统输入信号的z变换：
$X\left( z \right) = {z \over {z + 1}} + {z \over {z + 2}}$

$Y\left( z \right) = H\left( z \right) \cdot X\left( z \right) = {{4z^2 + 5z} \over {z^2 - 3z + 2}} \cdot \left( {{z \over {z + 1}} + {z \over {z + 2}}} \right)$ $= {{8z^4 + 22z^3 + 15z^2 } \over {z^4 - 5z^2 + 4}} = {{z^2 \left( {2z + 3} \right)\left( {4z + 5} \right)} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right)\left( {z + 2} \right)\left( {z + 1} \right)}}$

$= {{ - {{15} \over 2}z} \over {z - 1}} + {{15{1 \over 6}z} \over {z - 2}} + {{{1 \over 2}z} \over {z + 2}} + {{ - {1 \over 6}z} \over {z + 1}}$

>>iztrans(ans)'
ans=(-2)^n/2 -(-1)^n/6 +(91*2^n)/6 -15/2

系统的零状态响应为：
$y\left[ n \right] = - {{15} \over 2} + {1 \over 2}\left( { - 2} \right)^n - {1 \over 6}\left( { - 1} \right)^n + {{91} \over 6} \cdot 2^n ,\,\,\,\,n \ge 0$

（3）解答：

根据系统的传递函数可以化简为： $Y\left( z \right) = {{4 + 5z^{ - 1} } \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}$

它对应的系统差分方程为： $y\left[ n \right] - 3y\left[ {n - 1} \right] + 2y\left[ {n - 2} \right] = 4x\left[ n \right] + 5x\left[ {n - 1} \right]$
写出对应的后向迭代方程：
$2y\left[ {n - 2} \right] = 4x\left[ n \right] + 5x\left[ {n - 1} \right] - y\left[ n \right] + 3y\left[ {n - 1} \right]$

根据已知条件，可以求出： $2y\left[ { - 2} \right] = 4x\left[ 0 \right] + 5x\left[ { - 1} \right] - y\left[ 0 \right] + 3y\left[ { - 1} \right]$

$y\left[ { - 2} \right] = {{4x\left[ 0 \right] + 5x\left[ { - 1} \right] - y\left[ 0 \right] + 3y\left[ { - 1} \right]} \over 2}\, = {{4 + 5 \cdot 0 - 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right)} \over 2} = 0$

$Y\left( z \right) - 3\left\{ {z^{ - 1} Y\left( z \right) + y\left[ { - 1} \right]} \right\} + 2\left\{ {z^{ - 2} Y\left( z \right) + y\left[ { - 2} \right] + z^{ - 1} y\left[ { - 1} \right]} \right\}\, = 4X\left( z \right) + 5\left\{ {z^{ - 1} X\left( z \right) - x\left[ { - 1} \right]} \right\}$ $\left( {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} } \right)Y\left( z \right) - 3y\left[ { - 1} \right] + 2y\left[ { - 2} \right] + 2z^{ - 1} y\left[ { - 1} \right]\, = \left( {4 + 5z^{ - 1} } \right)X\left( z \right) - 5x\left[ { - 1} \right]$ $Y\left( z \right) = {{\left( {4 + 5z^{ - 1} } \right)X\left( z \right) - 5x\left[ { - 1} \right] + \left( {3 - 2z^{ - 1} } \right)y\left[ { - 1} \right] + 2y\left[ { - 2} \right]} \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}$

系统的零输入响应：
$Y_{zi} \left( z \right) = {{\left( {3 - 2z^{ - 1} } \right)\left( { - 1} \right)} \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }} = {{z\left( {3z - 2} \right)} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right)}} = {{ - z} \over {z - 1}} + {{4z} \over {z - 2}}$

系统的零状态响应：
$Y_{zs} \left( z \right) = {{\left( {4 + 5z^{ - 1} } \right) \cdot X\left( z \right)} \over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}$

对 $Y_{zi} \left( z \right)$进行z反变换，可以得到系统的零输入响应： $y_{zi} \left[ n \right] = - 1 + 4 \cdot 2^n ,\,\,\,\,n \ge 0$

※ 第四题

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已知离散时间因果系统的差分方程为：
（1） $y\left[ n \right] = 0.14x\left[ n \right] + 0.14x\left[ {n - 1} \right] + 1.02y\left[ {n - 1} \right]$
（2） $y\left[ n \right] = 0.5x\left[ n \right] - 0.3x\left[ {n - 2} \right] - 2y\left[ {n - 1} \right] - y\left[ {n - 2} \right]$
通过传递函数的几点位置判断系统的稳定性。

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■ 求解：

（1）求解：
$y\left[ n \right] = 0.14x\left[ n \right] + 0.14x\left[ {n - 1} \right] + 1.02y\left[ {n - 1} \right]$

系统的传递函数为： $Y\left( z \right) = {{0.14 + 0.14z^{ - 1} } \over {1 - 1.02z^{ - 1} }} = {{0.14\left( {z + 1} \right)} \over {z - 1.02}}$

它具有一个单重实根： $p_1 = 1.02 > 1$

所以系统 不稳定 。

>>iztrans(0.14*(z+1)/(z-1.02))'
ans=(707*(51/50)^n)/2550 -(7*kroneckerDelta(n,0))/51

$y\left[ n \right] = {{707\left( {{{51} \over {50}}} \right)^n } \over {2550}} - {{7\delta \left[ n \right]} \over {51}}$

^{▲ 系统仿真结果输出}

（2）求解：
$y\left[ n \right] = 0.5x\left[ n \right] - 0.3x\left[ {n - 2} \right] - 2y\left[ {n - 1} \right] - y\left[ {n - 2} \right]$

系统的传递函数为： $Y\left( z \right) = {{0.5 - 0.3z^{ - 2} } \over {1 + 2z^{ - 1} + z^{ - 2} }} = {{z\left( {0.5z - 0.3} \right)} \over {\left( {z + 1} \right)^2 }}$

具有双重实根： $p_{1,2} = - 1$，所以系统 不稳定 。

>>iztrans(z*(0.5*z-0.3)/(z+1)^2)'
ans=(13*(-1)^n)/10 +(4*(-1)^n*(n-1))/5

$y[n] = 1.3\left( { - 1} \right)^n + 0.8\left( { - 1} \right)^n \cdot \left( {n - 1} \right),\,\,\,\,n \ge 0$

^{▲ MATLAB仿真输出结果}

※ 第五题

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对于线性时不变系统施加激励信号： $x\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right)$
系统的零状态输出为： $y\left( t \right) = \left( {{1 \over 2}e^{ - t} - e^{ - 2t} + 2e^{3t} } \right)u\left( t \right)$
求该系统的系统函数 $H\left( s \right)$，单位脉冲响应 $h\left( t \right)$。

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■ 求解：

将系统的零状态输入输出信号进行Laplace变换：

系统函数为：
$H\left( s \right) = {{Y\left( s \right)} \over {X\left( s \right)}} = {{{1 \over {2\left( {s + 1} \right)}} - {1 \over {s + 2}} + {2 \over {s - 3}}} \over {{1 \over {s + 1}}}}$ $= {1 \over 2} - {{s + 1} \over {s + 2}} + {{2\left( {s + 1} \right)} \over {s - 3}}$ $= {3 \over 2} + {1 \over {s + 2}} + {8 \over {s - 3}}$

将系统函数进行Laplace反变换，得到系统的单位脉冲响应 $h\left( t \right)$： $h\left( t \right) = {3 \over 2}\delta \left( t \right) + e^{ - 2t} + 8e^{3t} ,\,\,\,\,t \ge 0$

※ 第六题

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已知电路如下面左图所示，传递函数的零极点如下面右图所示，且 $H\left( 0 \right) = 1$。
求：R，L，C的值。

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■ 求解：

将电路换成s域元器件模型：

$H\left( s \right) = {{U_2 \left( s \right)} \over {U_1 \left( s \right)}} = {{{R \over {sRC + 1}}} \over {sL + {R \over {sRC + 1}}}}\, = {R \over {RLCs^2 + sL + R}}\, = {{{1 \over {LC}}} \over {s^2 + {1 \over {RC}}s + {1 \over {LC}}}}$

根据系统零极点的分布 $p_{1,2} = - 1 \pm j$，可以知道系统的传递函数为： $H\left( s \right) = {K \over {\left( {s + 1 - j} \right)\left( {s + 1 + j} \right)}} = {K \over {s^2 + 2s + 2}}$

根据 $H\left( 0 \right)$的取值，可以求出K值： $H\left( 0 \right) = {K \over 2} = 1,\,\,\,\,K = 2$

所以系统函数为：
$H\left( s \right) = {2 \over {s^2 + 2s + 2}}$
对比电路传递函数，可得：
${1 \over {LC}} = 2,\,\,\,{1 \over {RC}} = 2,\,\,{1 \over {LC}} = 2$ $L = R,\,\,\,C = {1 \over {2R}}$

由于只能有两个独立的方程，所以只能假设气氛中一个元器件的取值。在这里假设电阻 $R = 1\Omega$，那么其他两个元器件的取值便可以计算出来： $L = R = 1H,\,\,\,\,C = 1/2R = 0.5F$

※ 第七题

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下列z变换中，哪些是对应的因果系统的传统函数？
（1） ${{\left( {1 - z^{ - 1} } \right)^2 } \over {1 - {1 \over 2}z^{ - 1} }}$
（2） ${{\left( {z - 1} \right)^2 } \over {z - {1 \over 2}}}$
（3）
${{\left( {z - {1 \over 6}} \right)^7 } \over {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^6 }}$

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■ 求解：

（1）求解： 分子的多项式的阶次等于分母的多项式的阶次，分式展开后不存在z的正幂次项，收敛域包括有∞,系统为因果系统。

（2）求解： 分子的多项式的阶次高于分母的多项式的阶次，分式展开后存在z的正幂次项，收敛域不包括有∞,系统为 非因果系统 。

（3）求解： 分子的多项式的阶次高于分母的多项式的阶次，分式展开后存在z的正幂次项，收敛域不包括有∞,系统为 非因果系统 。

※ 第八题

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因果、稳定、LTI系统的传递函数为 $H\left( s \right)$。该系统的输入为： $x\left( t \right) = \delta \left( t \right) + e^{s_0 t} + x_1 \left( t \right)$
其中 $x_1 \left( t \right)$未知， $s_0$是复数常数。
由 $x\left( t \right)$产生的输出信号为： $y\left( t \right) = \delta \left( t \right) - 6e^{ - t} u\left( t \right) - {1 \over 2}e^{4t} \cos 3t - {3 \over 2}e^{4t} \sin 3t$
求符合上述条件的的传递函数 $H\left( s \right)$。

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■ 求解：

将 $y\left( t \right)$进行Laplace变换：
$Y\left( s \right) = 1 - {6 \over {s + 1}} + {1 \over 2} \cdot {{s + 5} \over {s^2 - 8s + 25}}$ $= 1 - {6 \over {s + 1}} + {1 \over 4}\left( {{{1 - 3j} \over {s - 4 - 3j}} + {{1 + 3j} \over {s - 4 + 3j}}} \right)$

$= {{s^3 - 13.5s^2 + 62s - 127.5} \over {s^3 - 7s^2 + 17s + 25}}$

$= {{s - 7.5} \over {s + 1}} \cdot {{s^2 - 6s + 17} \over {s^2 - 8s + 25}}$

>>laplace(dirac(t)-6*exp(-t)-(exp(4*t)*(cos(3*t)+3*sin(3*t)))/2)'
ans=1 -6/(s+1)-9/(2*((s-4)^2 +9))-(s-4)/(2*((s-4)^2 +9)
>>partfrac((m+5)/(2*m^2-16*m+50),m,'FactorMode','full')'
ans=(1/4 -3i/4)/(m-4 -3i)+(1/4 +3i/4)/(m-4 +3i)

由于 $x\left( t \right)$是实数函数，所以 $x_1 \left( t \right)$应该包含 $e^{s_0 t}$的共轭函数 $e^{s_0^* t}$，所以： $X\left( s \right) = 1 + {1 \over {s - s_0 }} + {1 \over {s - s_0^* }}$

对比LTI输出信号中的表达式，可以知道： $s_0 = 4 + 3j$。 $X\left( s \right) = 1 + {{2s - 8} \over {s^2 - 8s + 25}} = {{s^2 - 6s + 17} \over {s^2 - 8s + 25}}$
由于 $Y\left( s \right) = X\left( s \right) \cdot H\left( s \right)$，所以： $H\left( s \right) = {{Y\left( s \right)} \over {X\left( s \right)}} = {{s - 7.5} \over {s + 1}}$

※ 第九题

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因果、稳定、LTI系统的单位脉冲响应和有理系统函数分别是 $h\left( t \right)$与 $H\left( s \right)$。已知系统的输入为单位阶跃函数 $u\left( t \right)$时，系统输出为绝对可和。当输入为 $t \cdot u\left( t \right)$时，系统输出不是绝对可和。此外：
${{d^2 h\left( t \right)} \over {dt^2 }} + 2{{dh\left( t \right)} \over {dt}} + 2h\left( t \right)$
是有限长信号。 $H\left( 1 \right) = 0.2,\,\,\,\,\,H\left( s \right)$在无穷远点只有一个零点。

求系统的传递函数 $H\left( s \right)$，给出收敛域。试讨论各个已知条件的作用。

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■ 求解：

1. 根据系统是因果、稳定、LTI系统可知， 系统的有理系统函数的极点都位于s平面 左半平面。

2. 根据系统在u(t)的作用下，系统的输出为 绝对可和，表明： ${1 \over s}H\left( s \right)$收敛域包含虚轴，即 ${1 \over s}H\left( s \right)$没有 $s = 0$处的极点，因此 $H\left( s \right)$至少包含一个 $s = 0$的零点。

3. 根据系统在 $t \cdot u\left( t \right)$作用下，系统输出不是绝对可积，因此 $H\left( s \right)$在 $s = 0$处的零点不超过两阶；系统函数可以写成： $H\left( s \right) = {{s \cdot A\left( s \right)} \over {B\left( s \right)}}$

4. 根据 ${{d^2 h\left( t \right)} \over {dt^2 }} + 2{{dh\left( t \right)} \over {dt}} + 2$为有限长，即 $\left( {s^2 + 2s + 2} \right)H\left( s \right)$不再包含任何极点，所以： $B\left( s \right) = s^2 + 2s + 2$。

5. 根据 $H\left( s \right)$在无穷远点只有一个一节零点，说明 $H\left( s \right)$的分子比分母的阶次小1。所以系统函数可以写成： $H\left( s \right) = {{s \cdot A} \over {s^2 + 2s + 2}}$

6. 再由 $H\left( 1 \right) = 0.2$，可以求得 $A = 1$。最终，有理系统函数为： $H\left( s \right) = {s \over {s^2 + 2s + 2}}$

※ 第十题

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用几何确定法粗略画出下列系统的幅频特性：
（1） $H_1 \left( s \right) = {1 \over {\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}},\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - 2$
（2） $H_2 \left( s \right) = {{s^2 } \over {s^2 + 2s + 1}},\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - 1$
（3） $H_3 \left( s \right) = {{s^2 - s + 1} \over {s^2 + s + 1}},\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - {1 \over 2}$

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■ 求解：

（1）求解：
$H_1 \left( s \right) = {1 \over {\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}},\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - 2$

bode(tf(zpk([],[-2,-3],1)))'

（2）求解：

$H_2 \left( s \right) = {{s^2 } \over {s^2 + 2s + 1}},\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - 1$

bode(tf(zpk([0,0],[-1,-1],1)))'

（3）求解：

$H_3 \left( s \right) = {{s^2 - s + 1} \over {s^2 + s + 1}},\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ s \right] > - {1 \over 2}$

bode(tf([1,-1,1],[1,1,1]))'

※ 第十一题

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已知以下系统，用几何作图法粗略会出它们的幅频和相频特性。
（1） $H\left( z \right) = {{2z} \over {z - 0.6}}\;\;\;\;\;$
（2） $H\left( z \right) = {{\left( {0.96 + z^{ - 1} } \right)^2 } \over {0.36z^{ - 2} + 1}}\;\;\;\;\;$

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■ 求解：

（1）求解：

（2）求解：