信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第十四次作业

§00 作业题目

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  作业要求链接： 信号与系统2022春季作业-第14次作业 : https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/125103375

§14 参考答案

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1.1 离散傅里叶变换

1.1.1 数据采样参数

◎ 求解：

  （1） 数据采样时间间隔等于数据采样频率 $f_s$ 的倒数。 根据要求信号频谱中最高频率 $f_{MAX}\ge 5kHz$ ，那么 $f_s\ge 2f_{MAX}=10kHz$ ，因此数据采样时间间隔 $$T_s=\frac{1}{f_s}=\frac{1}{2\cdot f_{MAX}}=\frac{1}{10\times 10^3}=100\mu s$$

  （2） 根据频率间分辨率 $f_1\le 10Hz$ ，因此数据采样总时间 $$T_1\ge \frac{1}{f_1}=\frac{1}{10}=100ms$$ 那么采样数据点 $$N=\frac{T_1}{T_s}=\frac{0.1}{100\times 10^{-6}}=1000$$ 为了适应FFT算法，最终取 $N=1024$ 。

1.1.2 频谱分析计算量

◎ 求解：

  （1） 对于两个长度分别为 $N,M$ 的序列，计算它们完全（线）卷积，所需要的实数乘法次数为 $N\cdot M$ ，实数加法次数为： $\left(N-1\right)\left(M-1\right)$ 。

  为了说明上述结论，可以由列表法求解序列卷积过程，展示了所有乘法和加法次数。具体可以参见下面两个说明。

▲ 图1.1.1 表格法计算离散序列卷积示意图

▲ 图1.1.2 以M<N为例，说明在卷积过程中加法次数

  由此，可以知道在本题中，两个序列的长度分别为 240， 14。所以直接使用线卷积计算两个序列的卷积，实数乘法次数为 $240\times 14=3360$ ；实数加法次数为 $\left(240-1\right)\times \left(14-1\right)=3107$ 。

  （2） 利用基-2的FFT， 完成 $x\left[n\right],h\left[n\right]$ 之间的线卷积，根据课件上给定的快速计算框架，其中需要：

• 将两个序列都通过补零达到超过 240+14-1=253，并且是 2 的整数次幂，因此将两个序列都补零到长度为 $N=256$ ；

  计算过程需要的三次FFT的计算复杂度和一次变换域内的乘积。因此总的复数乘法次数为： $$N_M=3\times \frac{N}{2}{\log }_{2}N+N=3328$$ 需要的复数加法次数为 $$N_A=3\times N{\log }_{2}N+\left(N-1\right)=6399$$ 在根据复数运算定义，最终可以知道相对应的实数乘法次数和加法次数$$N_{RM}=4\times N_M=4\times 3328=13312$$$$N_{RA}=2\times N_M+2\times N_A=2\times 3328+2\times 6399=19454$$

  （3） 对比上面频谱分析中计算量结果，可以看到当序列的长度短的时候，直接使用线卷积所需要的计算量比使用FFT完成线卷积所需要的计算量还小。因此，利用FFT实现快速卷积所适应的序列卷积需要满足一下两个条件：

• 两个序列长度比较长；
• 两个序列的长度大体相同；

1.1.3 数据频谱分析时间

◎ 求解：

• 使用DFT：

  对于长度为 $N=4096$ 的序列 $x\left[n\right]$ ，计算直接计算对应的 DFT，所需要的复数乘法和加法为
$$N_{DM}=N^2=4096^2$$$$N_{DA}=N\left(N-1\right)=4096\times 4095$$

  所需要的的实数乘法和加法次数
$$N_{rDM}=4\times D_{DM}=4\times 4096^2$$$$N_{rDA}=2\left(N_{DA}+N_{DM}\right)=2\times \left(4096^2+4096\times 4095\right)$$

  单片机完成计算所需要的时间
$$T_D=20\cdot N_{rDM}+2.5\cdot N_{rDA}$$$$=20\times 4\times 4096^2+2.5\times 2\times \left(4096^2+4096\times 4095\right)$$$$=1.359\times 10^{4}s=3.728Hour$$

• 使用FFT：

  使用FFT所需要的复数乘法和加法次数为
$$N_{FM}=\frac{N}{2}{\log }_{2}N=24576$$$$N_{FA}=N\cdot {\log }_{2}N=49152$$

  所需要的实数乘法和加法的次数为$$N_{rFM}=4N_{FM}=4\times 24576=98304$$$$N_{rFA}=2\left(N_{FM}+N_{FA}\right)=2\times \left(24576+49152\right)=147456$$

  单片机完成计算所需要的时间
$$T_F=20\cdot N_{rFM}+2.5\cdot N_{rFA}=20\times 98304+2.5\times 147456$$$$=2.33472s$$

1.1.4 对比线卷积与圆卷积

◎ 求解：

  一般情况下， 对于长度分别为 $N,M$ 两个序列， $M<N$ ，进行长度为 $N$ 的圆卷积，其中会有 $N-M+1$ 个计算式，是由长度为 $M$ 的序列于长度为 $N$ 的序列完全重合时计算出来的。此时他们的结果与线卷积的结果是相同的。

  由此可以知道对于本题所给定的两个序列，它们的长度分别为 10,25，所以对应的有 25-10+1=16 个计算取值相同。

1.1.5 两个序列反变换

◎ 求解： 根据 DFT 的线性特性，可以把两个实数序列的DFT组合成一个新的序列 $$Z\left[k\right]=X\left[k\right]+j\cdot Y\left[k\right]$$ 使用 FFT 对 $Z\left[k\right]$ 进行反变换， 这样所获得结果为 $$z\left[n\right]=x\left[n\right]+j\cdot y\left[n\right]$$ 所以可以从反变换结果的实部和虚部分别得到对应的 $x\left[n\right],y\left[n\right]$ 。

1.2 滤波器设计

1.2.1 物理可实现性

◎ 求解：

  （1） 根据佩里-维纳准则，要求 ${\left|H\left(j\Omega \right)\right|}^2$ 积分有限。

对 ${\left|H\left(j\omega \right)\right|}^2=\frac{1}{{\Omega }^4+{\Omega }^2+1}$ 进行积分。 根据 $H\left(x\right)=\frac{1}{x^4+x^2+1}$ 对应的原函数为

$$H_1\left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}\left[\arctan \left(\frac{2\sqrt{3}x}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\arctan \left(\frac{2\sqrt{3}x}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right]+\frac{1}{4}\ln \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}$$

所以 $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|H\left(j\Omega \right)\right|}^{2}d\Omega =\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$$

  因此这个系统函数是物理可实现的；

  （2） 由于 $${\left|H\left(j\Omega \right)\right|}^2=\frac{\left|100-{\Omega }^4\right|}{{\Omega }^4+20{\Omega }^2+10}$$ 对于 $\Omega$ 趋向于 $\pm \infty$ 时对应的取值不为 0， 所以它对应的积分是发散的。根据佩里-维纳准则，这个系统函数不满足 绝对可积，所以改滤波器无法物理实现。

1.2.2 滤波器结构

◎ 求解：

  （1） $$H_1\left(z\right)=\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$$

▲ 图1.2.1

  （2） $$H_2\left(z\right)={\left(1-z^{-1}\right)}^3=1-3z^{-1}+3z^{-2}-z^{-3}$$

▲ 图1.2.2

  （3） $$H_3\left(z\right)=\frac{1-z^{-1}}{1-a{z}^{-1}}$$

▲ 图1.2.3

  （4） $$H_4\left(z\right)=\frac{{\left(1-z^{-1}\right)}^2}{1-\left(a_1+a_2\right)z^{-1}+a_3{z}^{-2}}$$

▲ 图1.2.4

  （5）
$$H_5\left(z\right)=\frac{0.28z^{-1}+0.192z^{-2}+0.05z^{-3}}{1+0.65z^{-1}+0.55z^{-2}+0.03z^{-3}}$$

• 直接I型：

▲ 图1.2.5

• 直接II型：

▲ 图1.2.6

• 级联型：

  把系统函数进行因式分解 $$H_5\left(z\right)=\frac{0.28z^2+0.192z+0.05}{\left(z+0.05819\right)\left(z^2-0.5918z+0.5156\right)}$$ 因此可以形成如下级联滤波形式

▲ 图1.2.7

1.2.3 滤波器转换

  （1）

$$H\left(s\right)=\frac{5}{\left(s+2\right)\left(s+3\right)}$$

• 脉冲响应不变法：

  $$H\left(s\right)=-\frac{5}{s+3}+\frac{5}{s+2}$$

  对应的数字滤波器为： $$H\left(z\right)=\frac{-5}{1-e^{-3/2}{z}^{-1}}+\frac{5}{1-e^{-1}{z}^{-1}}$$

• 双线性变换法：
  $$H\left(z\right)=\frac{5}{\left(4\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+2\right)\left(4\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+3\right)}=\frac{5{\left(z+1\right)}^2}{42z^2-20z+2}$$

x,z = symbols('x,z')
s = 4*(1-z**-1)/(1+z**-1)
ss = 5/(s+2)/(s+3)
result = simplify(ss)

  （2）

• 脉冲响应不变法：

  $$H\left(s\right)=\frac{1}{2s+1}+\frac{1}{s+1}$$

  对应的数字滤波器为： $$H\left(z\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{1-e^{-0.25}{z}^{-1}}+\frac{1}{1-e^{-0.5}{z}^{-1}}$$

• 双线性变化法：

  $$H\left(z\right)=\frac{2\left(7z^2+2z-5\right)}{45z^2-62z+21}$$

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■ 相关文献链接:

• SHUTTERSTOCK网站
• 信号与系统2022春季作业-第14次作业

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 表格法计算离散序列卷积示意图
• 图1.1.2 以M<N为例，说明在卷积过程中加法次数
• 图1.2.1
• 图1.2.2
• 图1.2.3
• 图1.2.4
• 图1.2.5
• 图1.2.6
• 图1.2.7