2020年春季学期信号与系统课程作业参考答案-第十四次作业

信号与系统课程第十四次作业参考答案  

 

※ 第一题

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用闭式表达式写出下面有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）：
（1） $x\left[ n \right] = \delta \left[ n \right]$
（2） $x\left[ n \right] = \delta \left[ {n - n_0 } \right],\,\,\,\left( {0 < n_0 < N} \right)$
（3） $x\left[ n \right] = a^n R_N \left[ n \right]$
（4） $x\left[ n \right] = e^{j\omega _0 n} \cdot R_N \left[ n \right]$

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■ 求解：

（1）解答：
$x\left( n \right) = \delta \left( n \right)\;\;\;\;\;$

$X\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{ - j{{2\pi } \over N}nk} } = 1$

（2）解答：
$x\left( n \right) = \delta \left( {n - n_0 } \right),\,\,\,\,\,\,\left( {0 < n_0 < N} \right)\;\;\;\;\;$

$X\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{ - j{{2\pi } \over N}nk} } \, = e^{ - j{{2\pi } \over N}n_0 k}$

（3）解答：
$x\left( n \right) = a^n R_N \left( n \right)\;\;\;\;\;$

$X\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {a^n R_N \left[ n \right]W^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {aW^k } = {{1 - \left( {aW^k } \right)^N } \over {1 - aW^k }}\, = {{1 - a^N } \over {1 - ae^{ - j{{2\pi } \over N}k} }}$

（4）解答：
$x\left( n \right) = e^{j\omega _0 n} R_N \left( n \right)\;\;\;\;\;$

$X\left( k \right)\mathop = \limits^{a = e^{j\omega _0 } } {{1 - e^{j\omega _0 N} } \over {1 - e^{j\left( {\omega _0 - {{2\pi } \over N}k} \right)} }}$

※ 第二题

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$x\left[ n \right]$如下图所示，试绘出解答：
（1） $x\left[ n \right]$与 $x\left[ n \right]$的线卷积；
（2） $x\left[ n \right]$与 $x\left[ n \right]$的4点圆卷积；
（3） $x\left[ n \right]$与 $x\left[ n \right]$的10点圆卷积；
（4）如果是 $x\left[ n \right]$与 $x\left[ n \right]$的圆卷积和线卷积相同，求长度L之最小值。

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■ 求解：

※ 第三题

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已知序列 $x\left[ n \right] = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$， $h\left[ n \right] = \left\{ {1,1,1,1} \right\}$。求：
（1） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right]$
（2） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _7 h\left[ n \right]$
（3） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _8 h\left[ n \right]$

注： $\otimes _7 , \otimes _8$分别表示长度为7,8的圆卷积。

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■ 求解：

（1）解答：

（2）解答：

（3）解答：
由于\nL.≥4+5-1=8,所以圆卷积结果与线卷积结果相同：

$y_{ \otimes _8 } \left[ n \right] = \left\{ {1,3,6,10,14,12,9,5} \right\}$

※ 第四题

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设 $x\left[ n \right]$为有限长序列，当 $n < 0$和 $n \ge N$时， $x\left[ n \right] = 0$。且 $N$为偶数。
已知 $DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left[ k \right]$，试利用 $X\left[ k \right]$来表示一下个序列的DFT：

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■ 求解：

（1）解答：
$X_1 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ {N - 1 - n} \right]W^{nk} } \, = \sum\limits_{m = N - 1}^0 {x\left[ m \right]W^{\left( {N - 1 - m} \right)k} }$ $= \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right]W^{ - mk} \cdot W^{ - k} } \, = X\left[ { - k} \right]_N e^{j{{2\pi k} \over N}}$

（2）解答：
$X_2 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left( { - 1} \right)^n x\left[ n \right]W^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{jn\pi } e^{j{{2\pi } \over N}k} }$ $= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{j{{2\pi } \over N}n\left( {k + {N \over 2}} \right)} } = X\left[ {k \pm {N \over 2}} \right]_N$

（3）解答：
$X_3 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{2N - 1} {x_3 \left[ n \right]W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } + \sum\limits_{n = N}^{2N - 1} {x\left[ {n - N} \right] \cdot W_{2N}^{nk} }$ $= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{n{k \over 2}} } + \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{\left( {m + N} \right){k \over 2}} }$ $= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } + W_N^{{{kN} \over 2}} \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{{{mk} \over 2}} }$ $= \left[ {1 + \left( { - 1} \right)^k } \right]\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } = \left[ {1 + \left( { - 1} \right)^k } \right]X\left[ {{k \over 2}} \right]_N$

（4）解答：
$X_4 \left[ k \right]_{{N \over 2}} = \sum\limits_{n = 0}^{{N \over 2} - 1} {\left\{ {x\left[ n \right] + x\left[ {n + {N \over 2}} \right]} \right\} \cdot W_{{N \over 2}}^{nk} }$ $= \sum\limits_{n = 0}^{{N \over 2}j - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{2nk} } + \sum\limits_{m = {N \over 2}}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{2mk} }$ $= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{2nk} } = X\left[ {2k} \right]$

（5）解答：
$X_5 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } = X\left[ {{k \over 2}} \right]$

（6）解答：
$X_6 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{2N - 1} {x_6 \left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{nk} } = X\left[ k \right]$

（7）解答：
$X_7 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x_7 \left[ n \right] \cdot W_{{N \over 2}}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot {{1 + \left( { - 1} \right)^n } \over 2}W_N^{nk} }$ $= {1 \over 2}\left\{ {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{nk} } + \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]\left( { - 1} \right)^n W_N^{nk} } } \right\}$ $= {1 \over 2}\left\{ {X\left[ k \right] + X\left[ {k + {N \over 2}} \right]_N } \right\}$

※ 第五题

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有一个FFT处理器，用来估计实数信号的频谱。要求指标：
（1）频谱间的分辨率为 $f_1 \le 5Hz$；
（2）信号的最高频率 $f_m \le 1.25kHz$；
（3）点数 $N$必须是2的整数次幂。

试确定：
（1） 记录时间长度 $T_1$；
（2）抽样点间的时间间隔 $T_s$；
（3）一个记录过程的点数 $N$。

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■ 求解：

（1） $T_1 = {1 \over {f_1 }} \ge {1 \over 5} = 0.2s$

（2） $T_s \le {1 \over {2f_m }} = 0.4ms$

（3） $N = {{T_1 } \over {T_2 }} \ge 500$

取 $N = 512$。

※ 第六题

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一直序列 $x\left[ n \right]$的长度为218， $h\left[ n \right]$的长度为12.
（1）用直接卷激发求其线卷积，给出乘法的次数；
（2）采用基-2的快速傅里叶变换的快速卷积发，给出乘法的次数；
（3）比较以上结果，并得出你的结论。

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■ 求解：

(1) 直接进行卷积运算，结果长度为218+12-1=229. 总的实数乘法次数为： 218×12=2616.

(2) 使用基-2 FFT进行运算，需要将两个序列都至 长度为229的序列。取最接近的2的整数次幂， 将两个序列都补零为256长度的序列。

长度为N（2的整数次幂）的FFT运算包括(Nlog\2.N)2)次复数乘法运算。使用FFT进行卷积运算需要进行3次FFT运算（两次正变换，一次反变换）和一次数组乘法运算，因此总的复数乘法运算量为：（3Nlog\2.2/2+N)。一个复数乘法运算包括有4次实数乘法运算，所以总共乘法运算的次数为 4(3Nlog\2.2/2+N)。

根据上述分析，可以计算出基-2 的FFT进行计算序列卷积的乘法计算量为:4*（3 * 256 log\2.256 / 2 + 256)=13312
对比两种计算方法所需要的乘法次数，可以看出，在序列长度比较小的情况下，使用基于-2的 FFT反而计算量增加了。

※ 第七题

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已知 $x\left[ n \right]$是长度为 $N$的序列， $X\left[ k \right] = DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}$，把 $x\left[ n \right]$的长度扩大 $r$倍，即：
$y\left[ n \right] = x\left[ n \right],\,\,\,\,0 \le n \le N - 1$ $y\left[ n \right] = 0,\,\,\,\,N \le n \le rN - 1$
又： $Y\left[ {k_1 } \right] = DFT\left\{ {y\left[ n \right]} \right\},\,\,\,\,\,0 \le k \le rN - 1$
求 $Y\left[ {k_1 } \right]$与 $X\left[ k \right]$之间的关系。

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■ 求解：

（1）
$Y\left[ {k_1 } \right] = \sum\limits_{n = 0}^{rN - 1} {y\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } }$ $= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk_1 } \over r}} } = X\left[ {{{k_1 } \over r}} \right]$

（2）

$Y\left[ {k_1 } \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } } \, = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left( {{1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right] \cdot W_N^{ - nk} } } \right)} \cdot W_{rN}^{nk_1 }$ $= {1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right]\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {W_{rN}^{ - nkr} W_{rN}^{nk_1 } } } = {1 \over N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right]{{1 - W_{rN}^{k_1 N} } \over {1 - W_{rN}^{k_1 - kr} }}}$

※ 第八题

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一下序列的长度为 $N$，求其DFT的闭合表达式：

（1） $x\left[ n \right] = \sin \left( {\omega _0 n} \right) \cdot R_N \left[ n \right]$

（2） $x\left[ n \right] = a^n \cdot R_N \left[ n \right]$

（3） $x\left[ n \right] = n^2 \cdot R_N \left[ n \right]$

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■ 求解：

（1）
$X\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\sin \left( {\omega _0 n} \right) \cdot e^{ - j{{2\pi kn} \over N}} }$

$= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{1 \over {2j}}\left( {e^{j\omega _0 n} - e^{ - j\omega _0 n} } \right) \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N} \cdot n} }$

$= {1 \over {2j}}\left[ {{{1 - e^{j\omega _0 N} } \over {1 - e^{j\left( {\omega _0 - {{2\pi k} \over N}} \right)} }} - {{1 - e^{ - j\omega _0 N} } \over {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} }}} \right]$

$= {1 \over {2j}} \cdot {{\left( {1 - e^{j\omega _0 N} } \right) \cdot \left( {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right) - \left( {1 - e^{ - j\omega _0 N} } \right) \cdot \left( {1 - e^{j\left( {\omega _0 {\rm{ - }}{{{\rm{2}}\pi k} \over N}} \right)} } \right)} \over {\left( {1 - e^{j\left( {\omega _0 - {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right) \cdot \left( {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right)}}$

$= {{\sin \omega _0 e^{ - j{{2\pi k} \over N}} - \sin \left( {\omega _0 N} \right) + \sin \left( {\omega _0 N - \omega _0 } \right)e^{ - j{{2\pi k} \over N}} } \over {1 - 2\cos \omega _0 e^{ - j{{2\pi k} \over N}} + e^{ - j{{4\pi k} \over N}} }}$

（2）
$X\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {a^n e^{ - j{{2\pi } \over N}kn} }$ $= {{1 - \left( {ae^{ - j{{2\pi k} \over N}} } \right)^N } \over {1 - a \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N}} }} = {{1 - a^N } \over {1 - a \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N}} }}$

（3）
$\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {nW^n } = W + 2W^2 + \cdot \cdot \cdot + \left( {N - 1} \right)W^{N - 1}$ $= W + W^2 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +$ $W^2 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +$ $W^3 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ $W^{N - 1}$

$= {{W - W^N } \over {1 - W}} + {{W^2 - W^N } \over {1 - W}} + \cdot \cdot \cdot + {{W^{N - 1} - W^N } \over {1 - W}}$ $= {{\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {W^n } - N \cdot W^N } \over {1 - W}} = {{{{W - W^N } \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)W^N } \over {1 - W}}$ $= {{{{W - 1} \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)} \over {1 - W}} = {{ - N} \over {1 - W}}$

$\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {n^2 W^n } = W + 4W^2 + 9W^3 + \cdot \cdot \cdot + \left( {2N - 3} \right)W^{N - 1}$ $= W + W^2 + W^3 + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + W^{N - 1} +$ $3W^2 + 3W^3 + \;\;\;\; \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 3W^{N - 1} +$ $5W^3 + \,\,\,\,\,\,\; \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5W^{N - 1} +$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, +$ $\left( {2N - 3} \right)W^{N - 1}$
$$$$ $= {{W - W^N } \over {1 - W}} + {{3\left( {W^2 - W^N } \right)} \over {1 - W}} + {{5\left( {W^3 - W^N } \right)} \over {1 - W}} + \cdot \cdot \cdot + {{\left( {2N - 3} \right)\left( {W^{N - 1} - W^N } \right)} \over {1 - W}}$ $= {1 \over {1 - W}}\left[ {\sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)W^k } - \sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)} W^N } \right]$ $= {1 \over {1 - W}}\left[ {2\sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {nW^n } - \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {W^n } - \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)} } \right]$ $= {1 \over {1 - W}}\left[ {2 \cdot {{ - N} \over {1 - W}} - {{W - W^N } \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)^2 } \right]$ $= {{ - 2N - \left( {W - 1} \right) - \left( {N - 1} \right)\left( {1 - W} \right)} \over {\left( {1 - W} \right)^2 }} = {{N\left( {N - 1} \right)W - N^2 } \over {\left( {1 - W} \right)^2 }}$

※ 第九题

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证明DFT的对称性：

若： $DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left[ k \right]$

则： $DFT\left\{ {X\left[ n \right]} \right\} = N \cdot \left[ {\left[ { - k} \right]} \right]_N \cdot R_N \left[ n \right]$

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■ 证明：

根据IDFT公式： $x\left[ n \right] = {1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^N {X\left[ k \right] \cdot e^{{{j2\pi kn} \over N}} }$
因此： $N \cdot x\left[ n \right] = \sum\limits_{k = 0}^N {X\left[ k \right] \cdot e^{{{ - j2\pi k} \over N}\left( { - n} \right)} }$
所以： $DFT\left\{ {X\left[ n \right]} \right\} = N \cdot x\left( {\left( { - k} \right)} \right)_N \cdot R\left[ n \right]$