信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第四次作业-第一部分

  封面动图来自于： SHUTTERSTOCK网站

§00 作业题目

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  作业要求链接： 信号与系统2022春季学期第四次作业

§01 参考答案

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1.1 求解卷积运算

1.1.1 求解两个信号卷积

 Ⅰ.第一小题

  求解： 根据$u\left(t\right)$卷积特性：$u\left(t\right)\ast f\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{t}f\left(\tau \right)d\tau$。所以：

$$f\left(t\right)=u\left(t\right)\ast e^{-3t}\cdot u\left(t\right)={\int }_0^t{e}^{-3\tau }d\tau ={\frac{-1}{3}{e}^{-3t}|}_0^t=\frac{1}{3}\left(1-e^{-3t}\right)$$

信号的波形：

^{▲ 信号f(t)的波形}

 Ⅱ.第四小题

  求解： 根据$\delta \left(t\right)$以下两个性质：

• 偶对称： $\delta \left(t\right)=\delta \left(-t\right)$
• 卷积特性：$f\left(t\right)\ast \delta \left(t-t_0\right)=f\left(t-t_0\right)$

  可以进行如下化简：

$$f\left(t\right)=t\left[u\left(t\right)-u\left(t-2\right)\right]\ast \delta \left(2-t\right)$$$$=t\left[u\left(t\right)-u\left(t-2\right)\right]\ast \delta \left(t-2\right)$$$$=\left(t-2\right)\cdot \left[u\left(t-2\right)-u\left(t-4\right)\right]$$

信号的波形：

^{▲ 信号f(t)的波形}

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 Ⅲ.第七小题

  求解： 原来信号可以看成两个信号的卷积：$f\left(t\right)=f_1\left(t\right)\ast f_2\left(t\right)$：

• $f_1\left(t\right)=\left[\left(t+2\right)u\left(t+2\right)-2t\cdot u\left(t\right)+\left(t-2\right)\cdot u\left(t-2\right)\right]$
• $f_2\left(t\right)=\left[{\delta }^{\prime }\left(t+2\right)-{\delta }^{\prime }\left(t-2\right)\right]$

$f_1\left(t\right)$可以分解成两端组成：
$$f_1\left(t\right)=\left(t+2\right)\cdot u\left(t+2\right)-\left[\left(t+2\right)+\left(t-2\right)\right]\cdot u\left(t\right)+\left(t-2\right)\cdot u\left(t-2\right)$$$$=\left(t+2\right)\cdot \left[u\left(t+2\right)-u\left(t\right)\right]-\left(t-2\right)\cdot \left[u\left(t\right)-u\left(t-2\right)\right]$$

  它实际上是一个中心位于0点的对称等腰三角形：

^{▲ f1(t)的波形}

  它的导数为：

$$f_1^{\prime }\left(t\right)=\left[u\left(t+2\right)-u\left(t\right)\right]-\left[u\left(t\right)-u\left(t-2\right)\right]$$$$=u\left(t+2\right)-2u\left(t\right)+u\left(t-2\right)$$

^{▲ f1'(t)的波形}

根据

• ${\delta }^{\prime }\left(t\right)$的卷积特性：$f\left(t\right)\ast {\delta }^{\prime }\left(t\right)=f^{\prime }\left(t\right)$，
• 卷积延迟特性：$f\left(t\right)\ast {\delta }^{\prime }\left(t-t_0\right)=f^{\prime }\left(t-t_0\right)$

  所以计算$f_1\left(t\right)\ast f_2\left(t\right)$的结果就等于：
$$f\left(t\right)=f_1^{\prime }\left(t+2\right)-f_1^{\prime }\left(t-2\right)$$$$=u\left(t+4\right)-2u\left(t+2\right)+2u\left(t\right)-2u\left(t-2\right)+u\left(t-4\right)$$

^{▲ f(t)的波形}

1.1.2 图解法求解卷积

  求解：

$f_1\left(t\right),f_2\left(t\right)$的波形如下图所示：

  令 $f_{1u}\left(t\right)=f_1\left(t\right)\ast u\left(t\right)$，那么 $f_{1u}\left(t-2\right)=f_1\left(t\right)\ast u\left(t-2\right)$。所以：

$$f_1\left(t\right)\ast f_2\left(t\right)=f_1\left(t\right)\ast \left[u\left(t\right)-u\left(t-2\right)\right]=f_{1u}\left(t\right)-f_{1u}\left(t-2\right)$$

  下面首先计算$f_{1u}\left(t\right)$：

$$f_{1u}\left(t\right)=e^{-\frac{1}{2}t}\ast u\left(t\right)={\int }_{-\infty }^t{e}^{-\frac{\tau }{2}}d\tau ={-2e^{-\frac{t}{2}}|}_0^t=2\left(1-e^{-\frac{t}{2}}\right)$$

  那么：$$f_1\left(t\right)\ast \left[u\left(t\right)-u\left(t-2\right)\right]=2\left(1-e^{-\frac{t}{2}}\right)\cdot u\left(t\right)-2\left(1-e^{-\frac{t-2}{2}}\right)\cdot u\left(t-2\right)$$

1.1.3 使用Python绘制

  下面使用Python绘制的$f_1\left(t\right),f_2\left(t\right)$波形：

^{▲ f1(t),f2(t) 波形}

1.1.4 利用卷积求解系统响应

（1）必做题

  题中参与卷积的序列都是短的信号，可以使用竖式方法进行手工计算。下面给出使用python进行数值计算的结果，以供大家对照检查。

$$y\left[n\right]=\left[0,0,1,4,6_{n=0},4,1,0,0\right]$$

（2）选做题

$$y\left[n\right]=\left[0,0,1,3,1,1,3_{n=0},3,1,1,2,0,0\right]$$

• 确定n=0点位置：

  使用MATLAB的CONV命令进行求解的时候需要注意到对应的序列的原点对应的位置。

  计算绘制离散数据卷积python程序核心代码段：

x = [0, 1, 2, 1, 0]
h = [0, 1, 2, 1, 0]

xch = convolve(x, h)
xtime = linspace(-2, len(xch) - 2, \
            len(xch), endpoint=False)

printf(xch)
printf(xtime)

plt.stem(xtime, xch, basefmt='C1-')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('x[n]*h[n]')
plt.grid(axis='y')
plt.show()

1.1.5 求解卷积数值

  求解： 使用图解方法帮助确定积分上下限，选择$f_1\left(t\right)$进行反褶:

  （1） 求 $f\left(1\right)$

  下面是对应的函数平移和重叠的情况，

$$f\left(1\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1\left(1-\tau \right)\cdot f_2\left(\tau \right)d\tau$$

  卷积结果为：
$$f\left(1\right)=\frac{2\times 2}{2}\times 2=4$$

  （2） 求 $f\left(3\right)$

  下面是对应的函数平移和重叠的情况：

$$f\left(3\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1\left(3-\tau \right)\cdot f_2\left(\tau \right)d\tau$$

  卷积结果为：
$$f\left(3\right)=\frac{1+2}{2}\times 1\times 2-\frac{1\times 1}{2}=2\frac{1}{2}$$

  （5） 求 $f\left(5\right)$

  下面是对应的函数平移和重叠的情况：
$$f\left(5\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1\left(5-\tau \right)\cdot f_2\left(\tau \right)d\tau$$

  卷积结果为：
$$f\left(5\right)=\frac{1+2}{2}\times 1\times \left(-1\right)=-\frac{3}{2}$$

1.1.6 ⊙ 绘制卷积信号波形

^{▲ f1(t)*f2(t)波形}

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# DRAW2.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2020-03-29
#
# Note:
#============================================================

from headm import *

f1 = linspace(0, 2, 200, endpoint=False)
f2 = concatenate((linspace(2, 2, 400, endpoint=False),\
                  linspace(-1, -1, 200)), axis=0)

fconv = convolve(f1, f2) * 0.01
tdata = linspace(-2, 6, len(fconv))

plt.plot(tdata, fconv)
plt.grid(True)
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f1*f2')
plt.show()

#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : DRAW2.PY
#============================================================

1.1.7 求解卷积信号

  求解：

  使用图解方法辅助求解$x\left(t\right),h\left(t\right)$的卷积。

  （1） $t\le 3$

$$x\left(t\right)\ast h\left(t\right)=0$$

  （2） 当 $3<t<5$

$$x\left(t\right)\ast h\left(t\right)={\int }_0^{t-3}{e}^{-3\tau }d\tau =\frac{-1}{3}{e^{-3\tau }|}_0^{t-3}=\frac{1}{3}\left(1-e^{-3\left(t-3\right)}\right)$$

  （3） 当$t>5$
$$x\left(t\right)\ast h\left(t\right)={\int }_{t-5}^{t-3}{e}^{-3\tau }d\tau =\frac{-1}{3}{e^{-3\tau }|}_{t-5}^{t-3}$$$$=\frac{1}{3}\left(e^{-3\left(t-5\right)}-e^{-3\left(t-3\right)}\right)=\frac{e^{15}-e^9}{3}{e}^{-3t}$$

  根据卷积微分性质：

$$y^{\prime }\left(t\right)=x\left(t\right)\ast h^{\prime }\left(t\right)=x\left(t\right)\ast \left[\delta \left(t-3\right)-\delta \left(t-5\right)\right]$$$$=x\left(t-3\right)-x\left(t-5\right)=e^{-3\left(t-3\right)}\cdot u\left(t-3\right)-e^{-3\left(t-5\right)}\cdot u\left(t-5\right)$$

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