信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第二次作业

 

  封面动图来自于： SHUTTERSTOCK网站

§00 作业题目

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  作业要求链接： 信号与系统 2022 春季学期第二次作业 : https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/123258268

§01 参考答案

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1.1 信号奇偶分解

（1）第一小题

  求解

• 偶分量：

▲ 图1.1.1 信号的偶分量

• 奇分量：

▲ 图 信号的奇分量

（2）第二小题

  求解：

• 偶分量：

▲ 图1.1.3 信号的偶分量

• 奇分量：

▲ 图1.1.4 信号的奇分量

（3）第三小题

  求解：

• 偶分量：
  

  ▲ 图1.1.5 信号的偶分量

• 奇分量：

▲ 图1.1.6 信号的奇分量

（4）第四小题

  求解：

• 偶分量：

▲ 图1.1.7 信号的偶分量

• 奇分量：
  ▲ 图1.1.8 信号的奇分量

1.2 奇偶分解反问题

1.2.1 必做题

  求解： 根据 $x\left(t+1\right)\cdot u\left(-t-1\right)$ 的波形，往左平移1，获得 $x\left(t\right)\cdot u\left(-t\right)$ 的波形。

▲ 图1.2.1 获得信号左边边的波形

  将上述波形与 $x_o\left(t\right)$ 左边（ $t<0$ ）波形相减，得到波形偶分量左边波形：

$$\left[x\left(t\right)-x_o\left(t\right)\right]\cdot u\left(t\right)=x_e\left(t\right)\cdot u\left(t\right)$$

▲ 图1.2.2 波形偶分量的 左边波形

  根据偶分量是关于y轴左右对称，所以可以绘制出信号的偶分量：

▲ 图1.2.3 信号的偶分量

  将信号的偶分量与奇分量叠加，可以获得信号的波形，如下：

▲ 图1.2.4 信号本身波形

1.3 信号自变量变化

（1）第一小题

  求解：

（2）第二小题

  求解：

（3）第三小题

  求解：

（4）第四小题

  求解：

（5）第五小题

  求解：

（6）第六小题

  求解：

（7）第七小题

  求解：

（8）第八小题

  求解：

  由于 $t^2>0$ 所以本题中函数只包含有原来函数在 $t\ge 0$ 的部分，也就是 $\delta \left(t-1\right)$ 。

  根据 $t^2=1$ 的根据有 $\pm 1$ ，所以在 $t=\pm 1$ 处都存在冲激信号。

由于现在面临的信号实际上是一个复合函数， $f_8\left(t\right)=\delta \left[g\left(t\right)-1\right]=\delta \left(t^2-1\right)$ ，所以根据 狄拉克函数 复合函数特性， $$\delta \left[g\left(x\right)\right]=\sum \frac{\delta \left(x-x_i\right)}{\left|g^{\prime }\left(x_i\right)\right|}$$

  所以，对应的两个冲激函数为 $$\frac{1}{2}\delta \left(t\pm 1\right)$$ ，对应的函数图像为

（9）第九小题

  求解：

1.4 从系统框图到方程

（1）第一小题

  求解： 根据系统框图综合器，可知 $$x\left(t\right)-y\left(t\right)-4y^{\prime }\left(t\right)=y^{\prime \prime }\left(t\right)$$ 因此 $$y^{\prime \prime }\left(t\right)+4y^{\prime }\left(t\right)+y\left(t\right)=x\left(t\right)$$

（2）第二小题

  求解： 根据系统框图中的综合器，可得 $$x\left[n\right]-\frac{2}{3}y\left[n\right]=\frac{1}{3}y\left[n+1\right]$$ 因此 $$y\left[n\right]+2y\left[n-1\right]=3x\left[n-1\right]$$

（3）第三小题

  求解： 设置两个综合器之间三个节点对应的中间变量为 $w^{\prime \prime }\left(t\right),w^{\prime }\left(t\right),w\left(t\right)$ ，那么

$$x\left(t\right)+2w\left(t\right)-w^{\prime }\left(t\right)=w^{\prime \prime }\left(t\right)$$$$y\left(t\right)=w\left(t\right)+3w^{\prime }\left(t\right)$$

▲ 图1.4.1 带有中间变量的系统框图

  整理$$x\left(t\right)=w^{\prime \prime }\left(t\right)+w^{\prime }\left(t\right)-2w\left(t\right)$$$$y\left(t\right)=w\left(t\right)+3w^{\prime }\left(t\right)$$

  利用微分算子可以重新书写微分方程：
$$x\left(t\right)=\left(D^2+D-2\right)w\left(t\right)$$$$y\left(t\right)=\left(3D+1\right)w\left(t\right)$$

  消去 $w\left(t\right)$ ：
$$\frac{x\left(t\right)}{y\left(t\right)}=\frac{D^2+D-2}{3D+1}$$
  所以 $$y^{\prime \prime }\left(t\right)+y^{\prime }\left(t\right)-2y\left(t\right)=3x^{\prime }\left(t\right)+x\left(t\right)$$

（4）第四小题

  求解：

  在系统框图中两个综合器之间的节点分别设置中间变量 $w\left[n\right],w\left[n-1\right],w\left[n-2\right]$ ，根据两个综合器可以获得$$x\left[n\right]-2w\left[n-2\right]-w\left[n-1\right]=w\left[n\right]$$$$y\left[n\right]=2w\left[n-1\right]+5w\left[n-2\right]$$

▲ 图1.4.2 设置中间变量的系统框图480

  整理可得$$x\left[n\right]=w\left[n\right]+w\left[n-1\right]+2w\left[n-2\right]$$$$y\left[n\right]=2w\left[n-1\right]+5w\left[n-2\right]$$

  利用延迟算子，将上述差分方程表示成$$x\left[n\right]=\left(1+D+2D^2\right)w\left[n\right]$$$$y\left[n\right]=\left(2D+5D^2\right)w\left[n\right]$$

  将 $w\left[n\right]$ 消去，可得 $$\frac{x\left[n\right]}{y\left[n\right]}=\frac{1+D+2D^2}{2D+5D^2}$$

  因此 $$y\left[n\right]+y\left[n-1\right]+2y\left[n-2\right]=2x\left[n-1\right]+5x\left[n-2\right]$$

（5）第五小题

  求解：

  在系统框图中补充中间变量 $w\left(t\right),v\left(t\right)$ ，那么可以根据三个综合器获得$$x\left(t\right)=\frac{1}{2}{w}^{\prime }\left(t\right)+4w\left(t\right)$$$$x\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)+2v\left(t\right)$$$$y\left(t\right)=w\left(t\right)+v\left(t\right)$$

▲ 图1.4.3 补充了中间变量的系统框图

  利用微分算作改写上面的微分方程$$x\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}D+4\right)w\left(t\right)$$$$x\left(t\right)=\left(D+2\right)v\left(t\right)$$$$y\left(t\right)=w\left(t\right)+v\left(t\right)$$
  消去中间变量，可得 $$y\left(t\right)=\frac{x\left(t\right)}{\frac{1}{2}D+4}+\frac{x\left(t\right)}{D+2}$$ 化简，可得 $$\frac{y\left(t\right)}{x\left(t\right)}=\frac{\frac{3}{2}D+6}{D^2+5D+8}$$ 最后，再转换成微分方程 $$y^{\prime \prime }\left(t\right)+5y^{\prime }\left(t\right)+8y\left(t\right)=\frac{3}{2}{x}^{\prime }\left(t\right)+6x\left(t\right)$$

（6）第六小题

  求解：

  在系统中增加一个中间变量 $w\left(t\right)$ ，根据两个综合器可以得到$$x\left(t\right)-b{y}^{\prime }\left(t\right)=w^{\prime }\left(t\right)$$$$w\left(t\right)-ay\left(t\right)=y^{\prime }\left(t\right)$$

▲ 图1.4.4 增加有中间变量的系统框图

  利用微分算子改写上面方程$$x\left(t\right)-bDy\left(t\right)=Dw\left(t\right)$$$$w\left(t\right)=\left(D+a\right)y\left(t\right)$$

  消去中间变量可得 $$x\left(t\right)=D\left(D+a\right)y\left(t\right)+bDy\left(t\right)=\left[D^2+\left(a+b\right)D\right]y\left(t\right)$$ 再改写成微分方程 $$y^{\prime \prime }\left(t\right)+\left(a+b\right)y^{\prime }\left(t\right)=x\left(t\right)$$

（7）第七小题

  求解：

  增加中间变量 $w\left[n\right]$ ，可以得到$$x\left[n\right]=w\left[n\right]-\frac{2}{3}w\left[n-1\right]+\frac{1}{9}w\left[n-2\right]$$$$y\left[n\right]=w\left[n\right]-6w\left[n-1\right]+8w\left[n-2\right]$$

▲ 图1.4.5 增加中间变量的系统框图

  利用延迟算子，并进行化简，可以得到系统框图对应的差分方程 $$y\left[n\right]-\frac{2}{3}y\left[n-1\right]+\frac{1}{9}y\left[n-2\right]=x\left[n\right]-6x\left[n-1\right]+8x\left[n-2\right]$$

1.5 LTI系统响应

（1）第一小题

求解： 根据线性时不变系统的微分特性，可以知道在 $e_2\left(t\right)=\delta \left(t\right)$ 系统的响应 $r_2\left(t\right)$ 应该是 $e_1\left(t\right)=u\left(t\right)$ 输入时系统响应 $r_1\left(t\right)$ 的微分，即$$r_2\left(t\right)=\frac{d}{dt}{r}_1\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left[t\cdot e^{-2\alpha t}\cdot u\left(t\right)\right]$$$$=e^{-2\alpha t}\cdot u\left(t\right)+\left(-2\alpha \right)t\cdot e^{-2\alpha t}\cdot u\left(t\right)+{t\cdot e^{-2\alpha t}|}_{t=0}\cdot \delta \left(t\right)$$$$=\left(1-2\alpha t\right)\cdot e^{-2\alpha t}\cdot u\left(t\right)$$

（2）第二小题

  求解：

  （1） 对比 $x_2\left(t\right)$ 的波形与 $x_1\left(t\right)$ 的波形，可以知道 $$x_2\left(t\right)=x_1\left(t\right)-x_1\left(t-2\right)$$ 所以由 $x_2\left(t\right)$ 所引起的系统零状态输出为 $$y_2\left(t\right)=y_1\left(t\right)-y_1\left(t-2\right)$$ 对应的波形为

▲ 图1.5.1 y2(t)的波形

  （2） 对比 $x_3\left(t\right)$ 与 $x_1\left(t\right)$ 的波形，可以知道 $x_3\left(t\right)=x_1\left(t+1\right)+\frac{1}{2}{x}_1\left(t\right)$ ，所以由 $x_3\left(t\right)$ 引起的系统的零状态输出 $$y_3\left(t\right)=y_1\left(t+1\right)+\frac{1}{2}{y}_1\left(t\right)$$

  对应的波形为

▲ 图1.5.2 y3(t)的波形

1.6 系统的可逆性

（1）第一小题

  求解：

  （1） 可逆系统。 逆系统为 $\hat{r}\left(t\right)=e\left(t+5\right)$ ；

  （2） 不可逆系统。 比如 $r_1\left(t\right)=\sin \left(t\right),r_2\left(t\right)=\sin \left(t\right)+1$ 是两个不同信号，但它们的微分却相同；

  （3） 可逆系统。逆系统为 $\hat{r}\left(t\right)=e^{\prime }\left(t\right)$ ；

  （4） 可逆系统。 逆系统为 $\hat{r}\left(t\right)=e\left(0.5t\right)$ ；

  （5） 不可逆系统。 对于 $r_1\left[n\right]=\delta \left[n\right],r_2\left[n\right]=0$ 两个不同信号，它们对应系统的输出都是 0；

  （6） 不可逆系统。 对于 $r_1\left(t\right)=\delta \left(t\right),r_2\left(t\right)=\delta \left(t-1\right)$ 两个不同的输入，系统的输出都是 0。

（2）第二小题

  求解：

  这是对应的采样系统，该系统不可逆。比如对于两个输入信号 $r_1\left(t\right)=\delta \left(t+0.5t_s\right),r_2\left(t\right)=\delta \left(t-0.5t_s\right)$ ，它们采样后的信号都是 0。所以该系统不可逆。

  如果输入信号满足采样定理，即信号的最高频率小于采样频率 $f_s=1/t_s$ 的一半，则信号可以由采样后的离散信号恢复。此处，采样系统是可逆的。

（3）第三小题

  求解：

  这个电路是可逆电路。下面给出了它对应的逆系统。

▲ 图1.6.1 RC低通滤波器的逆系统

  注意，上述电路最后还需要再经过一级的反向，才真正实现将原始信号进行恢复。

• 参考文献： Inverse Analog Filter:History, Progress and Unresolved Issues
• 相关讨论： Low Pass Filter Inverse

1.7 系统特性

（1）第一小题

  求解：

  （1） 线性、时不变、因果；
  （2） 线性、时变、因果；
  （3） 非线性、时变、因果；
  （4） 线性、时变、非因果；
  （5） 线性、时变、非因果；
  （6） 非线性、时不变、因果；
  （7） 线性、时不变、因果；
  （8） 线性、时变、非因果；
  （9） 非线性、时变、非因果；
  （10） 线性、时变、非因果；

1.8 串联系统

  求解：

  根据系统1、系统2特性，可以知道系统2 的输出为：

  再根据系统3的特性，可以知道系统输出 $$y\left[n\right]=x\left[n\right]+\frac{1}{4}x\left[n-1\right]$$ 该系统为线性、时不变。

  如果将上述子系统更换成连续时间系统，即$$y_1\left(t\right)=x\left(t/2\right)$$$$y_2\left(t\right)=x\left(t\right)+\frac{1}{2}x\left(t-1\right)+\frac{1}{4}x\left(t-2\right)$$$$y_3\left(t\right)=x\left(2t\right)$$
  系统的输入输出关系为 $$y\left(t\right)=x\left(t\right)+\frac{1}{2}x\left(t-0.5\right)+\frac{1}{4}x\left(t-1\right)$$ 这也是一个线性时不变系统。

  如果将上述各子系统进行交换顺序，比如交换系统1和系统3， 则系统就会变成时变系统。

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■ 相关文献链接:

• SHUTTERSTOCK网站
• 信号与系统 2022 春季学期第二次作业
• 狄拉克函数
• Inverse Analog Filter:History, Progress and Unresolved Issues
• Low Pass Filter Inverse

● 相关图表链接:

• 图1.1.1 信号的偶分量
• 图 信号的奇分量
• 图1.1.3 信号的偶分量
• 图1.1.4 信号的奇分量
• 图1.1.5 信号的偶分量
• 图1.1.6 信号的奇分量
• 图1.1.7 信号的偶分量
• 图1.1.8 信号的奇分量
• 图1.2.1 获得信号左边边的波形
• 图1.2.2 波形偶分量的 左边波形
• 图1.2.3 信号的偶分量
• 图1.2.4 信号本身波形
• 图1.4.1 带有中间变量的系统框图
• 图1.4.2 设置中间变量的系统框图480
• 图1.4.3 补充了中间变量的系统框图
• 图1.4.4 增加有中间变量的系统框图
• 图1.4.5 增加中间变量的系统框图
• 图1.5.1 y2(t)的波形
• 图1.5.2 y3(t)的波形
• 图1.6.1 RC低通滤波器的逆系统