信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第一次作业

 

  封面动图来自于： SHUTTERSTOCK网站

§00 作业题目

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  第一次作业链接： 第一次作业 : https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/123113465

§01 参考答案

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1.1 绘制信号波形

（1）必做题

 Ⅰ.第一小题

  求解：

▲ 带有直流分量正弦振荡信号

from headm import *

t = linspace(-5,5,1000)
ft = 1+cos(2*pi*t)

plt.plot(t,ft)

plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

 Ⅱ.第二小题

  求解：

▲ 幅度调制正弦振荡信号

ft = (1+cos(pi*t)/3)*sin(8*pi*t)

 Ⅲ.第三小题

  求解：

▲ 双边指数震荡衰减小囊括

t = linspace(-5,5,1000)
ft = 2*sin(20*t)*exp(-abs(t))

 Ⅳ.第四小题

  求解：

▲ 复合信号

from headm import *

t = linspace(-5,5,1000)
ft = heaviside(sin(2*pi*t), 0)

plt.plot(t,ft)

plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

 Ⅴ.第五小题

  求解：

▲ 有限长指数信号

t = linspace(-5,5,1000)
ft = exp(-0.5*t)*(heaviside(t+1, 0)-heaviside(t-1,0))

 Ⅵ.第六小题

  求解：

▲ 指数序列

from headm import *

n = arange(0, 10)
fn = (0.5)**n

plt.stem(n, fn)

plt.xlabel("n")
plt.ylabel("f[n]")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

 Ⅶ.第七小题

  求解：

▲ 左边指数序列信号

n = arange(-10, 0)
fn = exp(n/5)

（2）选做题

 Ⅰ.第一小题

  求解：

▲ sinc函数连续乘积信号

t = linspace(-15, 15, 1000)
ft = sinc(t/pi)*sinc(t/3/pi)*sinc(t/5/pi)

注：在Python中，sinc(x)定义为 $\sin c\left(x\right)=\sin \left(\pi x\right)/\left(\pi \cdot x\right)$ ，所以在应用时使用 $\sin c\left(x/\pi \right)$ 。

 Ⅱ.第二小题

  求解：

▲ 震荡序列

n=arange(-10, 10)
fn=sin(pi*n*n/3)
plt.stem(n, fn)

 Ⅲ.第三小题

  求解：

▲ 非周期振荡信号

t = linspace(0.00001, 10, 10000)
ft = sin(2*pi/t)

 Ⅳ.第四小题

  求解：

▲ 周期波形发散信号

def f0(t):
    out = 1/t*(heaviside(t,0)-heaviside(t-1,0))
    return out

t = linspace(-3,3,12349)
ft = f0(t-3)+f0(t-2)+f0(t-1)+f0(t)+f0(t+1)+f0(t+2)+f0(t+3)

1.2 写出信号函数表达式

（1）必做题

 Ⅰ.第一小题

  求解：

• 第一种表达式：
  $$f\left(t\right)=\{\begin{array}{c}0,x<-1\\ 2x+2,-1\le x<0\\ -2x+2,0\le x<1\\ 0,x>=1\end{array}$$

• 第二种表达式：

  $$f\left(t\right)=\left(2-2\left|t\right|\right)\cdot \left[u\left(t+1\right)-u\left(t-1\right)\right]$$

 Ⅱ.第二小题

• 第一种表达式：
  $$f\left(t\right)=\left[u\left(t\right)-u\left(t-1\right)\right]+1.5\left[u\left(t-1\right)-u\left(t-3\right)\right]$$$$+3\left[u\left(t-3\right)-u\left(t-4.5\right)\right]+0.5u\left(t-4.5\right)$$

• 第二种表达式：
  $$f\left(t\right)=u\left(t\right)+0.5u\left(t-1\right)+1.5u\left(t-3\right)-2.5u\left(t-4.5\right)$$

 Ⅲ.第三小题

  求解：

$$f\left(t\right)=\frac{E}{2}\cos \left(\frac{\pi }{T}t\right)\cdot \left[u\left(t+T\right)-u\left(t-T\right)\right]+\frac{E}{2}$$

 Ⅳ.第四小题

  求解：

$$f\left(t\right)=-E\sin \left(t\right)\cdot u\left(t\right)$$

 Ⅴ.第五小题

  求解：

$$f\left(t\right)=e^{-0.1t}\cdot \sin \left(t\right)\cdot u\left(t\right)$$

（2）选做题

 Ⅰ.第一小题

  求解：

• 第一种表达式：

  $$f\left(t\right)=2\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left(-1\right)}^n\left[u\left(t+1-4n\right)-u\left(t-1-4n\right)\right]$$

• 第二种表达式：

  $$f\left(t\right)=2\mathrm{sgn}\left[\cos \left(\frac{\pi }{2}t\right)\right]$$ 其中$$\mathrm{sgn}\left(t\right)=\{\begin{array}{c}1,t>0\\ 0,t=0\\ -1,t<0\end{array}$$

 Ⅱ.第二小题

$$f\left(t\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }{2}^{-n}\left[u\left(t-1+2^{-n}\right)-u\left(t-1+2^{-n-1}\right)\right]$$

▲ 图1.2.2 使用程序绘制公式波形进行验证

from headm import *

t = linspace(-0.25,1.25,10000)

ft = t*0

for n in range(100):
    ft = ft + 0.5**n*(heaviside(t-1+0.5**n,0)-heaviside(t-1+0.5**(n+1),0))

plt.plot(t,ft)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

1.3 判断信号的周期性

（1）必做题

 Ⅰ.第一小题

  求解： 非周期

$$f\left(t\right)=\sin \left(10t\right)-\cos \left(30\pi t\right)$$

▲ 图1.3.1 f(t)的波形

 Ⅱ.第二小题

  求解： 周期信号

 Ⅲ.第三小题

  求解： 周期信号

 Ⅳ.第四小题

  求解： 周期信号

 Ⅴ.第五小题

  求解： 非周期信号

▲ 图1.3.2 信号的波形

 Ⅵ.第六小题

  求解： 周期信号

▲ 序列的波形

n = arange(-30, 30)
fn = cos(pi*(n*n*n)/5)
plt.stem(n,fn)

plt.xlabel("n")
plt.ylabel("f[n]")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

（2）选做题

 Ⅰ.第一小题

  求解： 非周期信号

▲ 序列的波形

 Ⅱ.第二小题

  求解

  （1） 如果 $y\left[n\right]$ 是周期信号， $x\left[n\right]$ 不一定是周期信号；

  （2） $x\left[n\right]$ 是周期信号， $y\left[n\right]$ 一定是周期信号；

1.4 冲激信号的抽样特性

 Ⅰ.第一小题

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(\tau \right)\delta \left(\frac{\tau }{2}\right)d\tau ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(\tau \right)\cdot 2\delta \left(\tau \right)d\tau =2f\left(0\right)$$

 Ⅱ.第二小题

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\cos \left(2\tau \right)\cdot \delta \left(\tau -\frac{\pi }{3}\right)d\tau =\cos \left(2\cdot \frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$$

 Ⅲ.第三小题

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-t_0\right)\cdot u\left(t-\frac{t_0}{3}\right)dt=u\left(t_0-\frac{t_0}{3}\right)=u\left(\frac{2t_0}{3}\right)=\{\begin{array}{c}1,t_0>0\\ 0.5,t_0=0\\ -1,t_0<0\end{array}$$

 Ⅳ.第四小题

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[2e^{-t}+\cos 2t\right]\cdot {\delta }^{\prime }\left(t\right)dt={{\left[2e^{-t}+\cos 2t\right]}^{\prime }|}_{t=0}={-2e^{-t}-2\sin 2t|}_{t=0}=-2$$

 Ⅴ.第五小题

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-j\omega t}\left[\delta \left(t\right)+\delta \left(t-t_0\right)\right]dt=e^{-j\omega \cdot 0}+e^{-j\omega \cdot t_0}=1+e^{-j\omega t_0}$$

 Ⅵ.第六小题

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\tau }\left[\delta \left(\tau -1\right)+{\delta }^{\prime }\left(\tau \right)\right]d\tau =e^{-1}+{{\left(e^{-t}\right)}^{\prime }|}_{t=0}=e^{-1}-1$$

1.5 信号的直流分量

 Ⅰ.第一小题

  求解：
$$f_D\left(t\right)=\frac{\omega }{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{\omega }}\sin \left(\omega t\right)dt=\frac{\omega }{\pi }\cdot {\left(-1\right)\frac{1}{\omega }\cos \left(\omega t\right)|}_{t=0}^{t=\frac{\pi }{\omega }}=\frac{2}{\pi }$$

 Ⅱ.第二小题

  求解： 因为：
$$\cos \left(2\omega t\right)={\cos }^2\left(\omega t\right)-{\sin }^2\left(\omega t\right)=1-2{\sin }^2\left(\omega t\right)$$$${\sin }^2\left(\omega t\right)=\frac{1}{2}\left[1-\cos \left(2\omega t\right)\right]$$

  所以： $f_D\left(t\right)=\frac{1}{2}$

 Ⅲ.第三小题

  求解： $f_D\left(t\right)=0$

 Ⅳ.第四小题

  求解： $f_D\left(t\right)=K$

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■ 相关文献链接:

• SHUTTERSTOCK网站
• 信号与系统 2022 春季学期第一次作业

● 相关图表链接:

• 带有直流分量正弦振荡信号
• 幅度调制正弦振荡信号
• 双边指数震荡衰减小囊括
• 复合信号
• 有限长指数信号
• 指数序列
• 左边指数序列信号
• sinc函数连续乘积信号
• 震荡序列
• 非周期振荡信号
• 周期波形发散信号
• 图1.2.2 使用程序绘制公式波形进行验证
• 图1.3.1 f(t)的波形
• 图1.3.2 信号的波形
• 序列的波形
• 序列的波形