2020年春季学期信号与系统课程作业参考答案-第十二次作业

信号与系统第十二次作业参考答案  

※ 第一题

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利用Laplace变换求解下列微分方程：
（1） ${{d^2 } \over {dt^2 }}y\left( t \right) + 2{d \over {dt}}y\left( t \right) + y\left( t \right) = \delta \left( t \right) + 2\delta '\left( t \right)$
$y\left( {0_ - } \right) = 1,\,\,\,y'\left( {0_ - } \right) = 2$
（2） ${{d^2 } \over {dt^2 }}y\left( t \right) + 5{d \over {dt}}y\left( t \right) + 6y\left( t \right) = 3x\left( t \right)$
$x\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right),\,\,\,y\left( {0_ - } \right) = 0,\,\,y'\left( {0_ - } \right) = 1$

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■ 求解：

（1）解答： 对微分方程两边进行Laplace变换，根据Laplace变换的微分定理，可将系统的初始条件代入方程：
$s^2 Y\left( s \right) - sy\left( {0_ - } \right) - y'\left( {0_ - } \right) + 2\left[ {sY\left( s \right) - y\left( {0_ - } \right)} \right] + Y\left( s \right) = 1 + 2s$

$s^2 Y\left( s \right) - s - 2 + 2\left[ {sY\left( s \right) - 1} \right] + Y\left( s \right) = 1 + 2s$

$\left( {s^2 + 2s + 1} \right)Y\left( s \right) = 3s + 5$

$Y\left( s \right) = {{5 + 3s} \over {s^2 + 2s + 1}}$

>>ilaplace((3*s+5)/(s*s+2*s+1))'
ans=3*exp(-t)+2*t*exp(-t)

$y\left( t \right) = 3e^{ - t} + 2t \cdot e^{ - t} ,\,\,\,\,t \ge 0$

（2）解答： 对微分方程两边进行Laplace变换，根据Laplace变换的微分定理，可将系统的初始条件代入方程：

$s^2 Y\left( s \right) - sy\left( {0_ - } \right) - y'\left( {0_{\rm{ - }} } \right) + 5\left[ {sY\left( s \right) - y\left( {0_ - } \right)} \right] + 6Y\left( s \right) = 3X\left( s \right)$

$X\left( s \right) = {1 \over {s + 1}}$

$\left( {s^2 + 5s + 6} \right)Y\left( s \right) = {1 \over {s + 1}} + 1$

$Y\left( s \right) = {{s + 2} \over {\left( {s + 1} \right)\left( {s^2 + 5s + 6} \right)}}$

>>ilaplace((s+2)/((s+1)*(s*s+5*s+6)))'
ans=exp(-t)/2 -exp(-3*t)/2

$y\left( t \right) = {1 \over 2}e^{ - t} - {1 \over 2}e^{ - 3t} ,\,\,\,\,t \ge 0$

※ 第二题

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利用单边z变换求解下列差分方程，并求出零输入响应和零状态响应。
（1） $y\left[ n \right] + 3y\left[ {n - 1} \right] = x\left[ n \right],\,\,x\left[ n \right] = \left( {{1 \over 2}} \right)^n \cdot u\left[ n \right],\,\,y\left[ { - 1} \right] = 1$
（2） $y\left[ n \right] - {1 \over 2}y\left[ {n - 1} \right] = x\left[ n \right] - {1 \over 2}x\left[ {n - 1} \right],\,\,x\left[ n \right] = u\left[ n \right],\,\,\,\,y\left[ { - 1} \right] = 1$

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■ 求解：

（1）解答： 方程两边同时进行z变换：
$Y\left( z \right) + 3z^{ - 1} Y\left( z \right) + 3 \cdot y\left[ { - 1} \right] = X\left( z \right)$ $\left( {1 + 3z^{ - 1} } \right)Y\left( z \right) = {z \over {z - {1 \over 2}}} - 3$ $Y\left( z \right) = {{z\left( { - 2z + {3 \over 2}} \right)} \over {\left( {z - {1 \over 2}} \right)\left( {z + 3} \right)}} = {{{1 \over 7}z} \over {z - {1 \over 2}}} + {{ - {{15} \over 7}z} \over {z + 3}}$
$y\left[ n \right] = {1 \over 7}\left( {{1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right] - {{15} \over 7}\left( { - 3} \right)^n u\left[ n \right]$

零输入响应：
$Y_{zi} \left( z \right) = {{ - 3} \over {1 + 3z^{ - 1} }} = {{ - 3z} \over {z + 3}}$ $y_{zi} \left[ n \right] = - 3\left( { - 3} \right)^n \cdot u\left[ n \right] = \left( { - 3} \right)^{n + 1} u\left[ n \right]$

零状态响应：
$Y_{zs} \left( z \right) = {{z^2 } \over {\left( {z - {1 \over 2}} \right)\left( {z + 3} \right)}} = {{{1 \over 7}z} \over {z - {1 \over 2}}} + {{{6 \over 7}z} \over {z + 3}}$ $y_{zs} \left[ n \right] = {1 \over 7}\left( {{1 \over 2}} \right)^n u\left[ n \right] + {6 \over 7}\left( { - 3} \right)^n u\left[ n \right]$

（2）解答： 方程两边同时进行z变换：
$Y\left( z \right) - {1 \over 2}z^{ - 1} Y\left( z \right) - {1 \over 2}y\left[ { - 1} \right] = \left( {1 - {1 \over 2}z^{ - 1} } \right) \cdot {z \over {z - 1}}$ $Y\left( z \right) = {{z\left( {{3 \over 2}z - 1} \right)} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - {1 \over 2}} \right)}} = {z \over {z - 1}} + {{{1 \over 2}} \over {z - {1 \over 2}}}$ $y\left[ n \right] = u\left[ n \right] + \left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 2} u\left[ n \right]$

系统的零输入响应为：
$Y_{zi} \left( z \right) = {{{1 \over 2}z} \over {z - {1 \over 2}}}$ $y_{zi} \left[ n \right] = \left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 1} u\left[ n \right]$

系统的零状态响应为：
$Y_{zs} \left( z \right) = {z \over {z - 1}}$ $y_{zs} \left[ n \right] = u\left[ n \right]$

※ 第三题

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设激励 $x\left( t \right) = e^{ - t}$时，系统的零状态响应为： $y\left( t \right) = {1 \over 2}e^{ - t} - e^{ - 2t} + 2e^{ - 3t} \;\;\;\;\;$
求系统的单位脉冲响应信号 $h\left( t \right)$。

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■ 求解：

分别对输入信号 $x\left( t \right)$和系统的零状态响应 $y\left( t \right)$进行Laplace变换：
$X\left( s \right) = LT\left[ {e^{ - t} \cdot u\left( t \right)} \right] = {1 \over {s + 1}}$

$Y\left( s \right) = LT\left[ {{1 \over 2}e^{ - t} - e^{ - 2t} + 2e^{ - 3t} } \right] = {1 \over 2}{1 \over {s + 1}} - {1 \over {s + 2}} + {2 \over {s + 3}}$

$= {{{3 \over 2}s^2 + {9 \over 2}s + 4} \over {\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}$

根据线性是不变系统的性质，系统的零状态输出等于系统的输入信号与系统的单位冲击响应信号的卷积： $y\left( t \right) = x\left( t \right) * h\left( t \right)$

根据Laplace变换的卷积定理： $Y\left( s \right) = X\left( s \right) \cdot H\left( s \right)$

因此： $H\left( s \right) = {{Y\left( s \right)} \over {X\left( s \right)}} = {{{3 \over 2}s^2 + {9 \over 2}s + 4} \over {\left( {s + 1} \right)^2 \left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}$

>>ilaplace((1.5*s*s+4.5*s+4)/((s+1)^2*(s+2)*(s+3)))'
ans=exp(-2*t)-exp(-3*t)+(t*exp(-t))/2

则系统的单位冲击响应信号 $h\left( t \right)$等于： $h\left( t \right) = e^{ - 2t} - e^{ - 3t} + {1 \over 2}t \cdot e^{ - t} ,\,\,\,\,t \ge 0$

※ 第四题

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画出 $X\left( z \right) = {{ - 3z^{ - 1} } \over {1 - 4z^{ - 1} + 3z^{ - 2} }}$
的零极点图，在下列三种收敛域的情况下，求出各自对应的序列：
（1） $\left| z \right| > 3$
（2） $\left| z \right| < 1$
（3） $1 < \left| z \right| < 3$

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■ 求解：

$X\left( z \right) = {{ - 3z} \over {z^2 - 4z + 3}} = {{ - 3z} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 3} \right)}} = {{{3 \over 2}z} \over {z - 1}} + {{{{ - 3} \over 2}z} \over {z - 3}}$

（1） $x\left[ n \right] = {3 \over 2}u\left[ n \right] - {3 \over 2}3^n \cdot u\left[ n \right]$

（2） $x\left[ n \right] = - {3 \over 2}u\left[ { - n - 1} \right] + {3 \over 2}3^n \cdot u\left[ { - n - 1} \right]$

（3） $x\left[ n \right] = {3 \over 2}u\left[ n \right] + {3 \over 2}3^n \cdot u\left[ { - n - 1} \right]$

※ 第五题

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给定实数序列 $x\left[ n \right]$及其z变换的表达式 $X\left( z \right)$。请证明： $X\left( z \right) = X^* \left( {z^* } \right)$

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■ 证明：

$X\left( z \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x\left[ n \right] \cdot z^{ - n} }$

$X\left( {z^* } \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x\left[ n \right] \cdot \left( {z^* } \right)^{ - n} } \, = \left( {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x\left[ n \right] \cdot z^{ - n} } } \right)^* \, = X^* \left( z \right)$

两边再取共轭，原题得证。

※ 第六题

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已知： $X\left( z \right) = \ln \left( {1 + {a \over z}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\left| z \right| > \left| a \right|} \right)$
求对应的序列 $x\left[ n \right]$。

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■ 求解：

方法1：
$X\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left[ n \right]z^{ - n} }$ $X'\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( { - n} \right)x\left[ n \right]z^{ - n - 1} }$ $z \cdot X'\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left\{ { - n \cdot x\left[ n \right]} \right\}z^{ - n} }$ $- n \cdot x\left[ n \right] = ZT^{ - 1} \left[ {z \cdot X'\left( z \right)} \right]$ $x\left[ n \right] = {1 \over { - n}} \cdot ZT^{ - 1} \left[ {z \cdot X'\left( z \right)} \right]$
${d \over {dz}}X\left( z \right) = {d \over {dz}}\ln \left( {{{z + a} \over z}} \right) = {z \over {z + a}} \cdot {d \over {dz}}\left( {{{z + a} \over z}} \right)$ $= {z \over {z + a}} \cdot {{z - \left( {z + a} \right)} \over {z^2 }} = {{ - a} \over {z\left( {z + a} \right)}}$
$z \cdot {d \over {dz}}X\left( z \right) = {{ - az} \over {z\left( {z + a} \right)}} = {{ - a} \over {z + a}}$
$ZT^{ - 1} \left[ {z \cdot X'\left( z \right)} \right] = \left( { - a} \right)^n \cdot u\left[ {n - 1} \right]$
$x\left[ n \right] = {{\left( { - a} \right)^n } \over { - n}} \cdot u\left[ {n - 1} \right]$

>>iztrans(log(1+a/z))'
ans=((-1)^(n-1)*a^n*(heaviside(n-1)+kroneckerDelta(n-1,0)/2))/n

方法2：
利用对数进行Taylor展开：

>>taylor(log(1-x),'Order',10)'
ans=-x^9/9 -x^8/8 -x^7/7 -x^6/6 -x^5/5 -x^4/4 -x^3/3 -x^2/2 -x

$\ln \left( {1 - x} \right) = - x - {{x^2 } \over 2} - {{x^3 } \over 3} - {{x^4 } \over 4} - .... = \sum\limits_{n = 1}^\infty { - {{x^n } \over n}}$
$\ln \left( {1 - {1 \over z}} \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty { - {{z^{ - n} } \over n}}$